Theorem r19.3rzf 45163

Description: Restricted quantification of wff not containing quantified variable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r19.3rzf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
r19.3rzf.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
r19.3rzf	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Proof of Theorem r19.3rzf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.3rzf.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2	1	n0f 4349	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
3		biimt 360	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑)))
4	2, 3	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝜑 ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑)))
5		df-ral 3062	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
6		r19.3rzf.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
7	6	19.23 2211	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑) ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
8	5, 7	bitri 275	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
9	4, 8	bitr4di 289	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206  ∀wal 1538  ∃wex 1779  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2890   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∅c0 4333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-dif 3954  df-nul 4334

This theorem is referenced by:  r19.28zf  45164