Theorem r19.3rzf 45908

Description: Restricted quantification of wff not containing quantified variable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
r19.3rzf.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
r19.3rzf.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴

Assertion

Ref	Expression
r19.3rzf	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

Proof of Theorem r19.3rzf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.3rzf.2	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2	1	n0f 4306	. . 3 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
3		biimt 363	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝜑 ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑)))
4	2, 3	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝜑 ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑)))
5		df-ral 3083	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
6		r19.3rzf.1	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
7	6	19.23 2250	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑) ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
8	5, 7	bitri 278	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝜑))
9	4, 8	bitr4di 292	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜑))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209  ∀wal 1568  ∃wex 1812  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146  Ⅎwnfc 2913   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  ∅c0 4289

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-dif 3911  df-nul 4290

This theorem is used by:  r19.28zf  45909