Theorem iinss2d 46141

Description: Subset implication for an indexed intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinss2d.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
iinss2d.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
iinss2d.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐶
iinss2d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
iinss2d.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
iinss2d	⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem iinss2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinss2d.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		iinss2d.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
3	2	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ⊤) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4		iinss2d.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
5		iinss2d.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
6	5	n0f 4296	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
7	4, 6	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
8		rextru 3094	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ⊤)
9	7, 8	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ⊤)
10	1, 3, 9	reximdd 46132	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)
11		iinss2d.3	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
12	11	iinssf 46122	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)
13	10, 12	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ⊤wtru 1571  ∃wex 1812  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2908   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ∩ ciin 4952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-v 3453  df-dif 3902  df-ss 3916  df-nul 4280  df-iin 4954

This theorem is used by: (None)