Theorem iinss2d 44152

Description: Subset implication for an indexed intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinss2d.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
iinss2d.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
iinss2d.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐶
iinss2d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
iinss2d.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
iinss2d	⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem iinss2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinss2d.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		iinss2d.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
3	2	3adant3 1130	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ⊤) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4		iinss2d.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
5		iinss2d.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
6	5	n0f 4341	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
7	4, 6	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
8		rextru 3075	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ⊤)
9	7, 8	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ⊤)
10	1, 3, 9	reximdd 44142	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)
11		iinss2d.3	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
12	11	iinssf 44128	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)
13	10, 12	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394  ⊤wtru 1540  ∃wex 1779  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2104  Ⅎwnfc 2881   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  ∩ ciin 4997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-v 3474  df-dif 3950  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-iin 4999

This theorem is referenced by: (None)