Theorem iinss2d 45875

Description: Subset implication for an indexed intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinss2d.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
iinss2d.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
iinss2d.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐶
iinss2d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
iinss2d.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
iinss2d	⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem iinss2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinss2d.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		iinss2d.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
3	2	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ⊤) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4		iinss2d.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
5		iinss2d.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
6	5	n0f 4303	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
7	4, 6	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
8		rextru 3096	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ⊤)
9	7, 8	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ⊤)
10	1, 3, 9	reximdd 45866	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)
11		iinss2d.3	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
12	11	iinssf 45856	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)
13	10, 12	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400  ⊤wtru 1571  ∃wex 1809  Ⅎwnf 1813   ∈ wcel 2143  Ⅎwnfc 2910   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  ∩ ciin 4957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-v 3457  df-dif 3908  df-ss 3922  df-nul 4287  df-iin 4959

This theorem is referenced by: (None)