Theorem iinss2d 45200

Description: Subset implication for an indexed intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
iinss2d.1	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
iinss2d.2	⊢ Ⅎ𝑥𝐴
iinss2d.3	⊢ Ⅎ𝑥𝐶
iinss2d.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
iinss2d.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
iinss2d	⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem iinss2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iinss2d.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		iinss2d.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
3	2	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ⊤) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4		iinss2d.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
5		iinss2d.2	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
6	5	n0f 4299	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
7	4, 6	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
8		rextru 3063	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ⊤)
9	7, 8	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ⊤)
10	1, 3, 9	reximdd 45191	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)
11		iinss2d.3	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
12	11	iinssf 45181	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)
13	10, 12	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ⊤wtru 1542  ∃wex 1780  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2879   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  ∩ ciin 4942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-v 3438  df-dif 3905  df-ss 3919  df-nul 4284  df-iin 4944

This theorem is referenced by: (None)