Theorem nchoicelem1 6290

Description: Lemma for nchoice 6309. A finite cardinal is not one more than its T-raising. (Contributed by SF, 3-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nchoicelem1	⊢ (A ∈ Nn → ¬ A = ( Tc A +c 1c))

Proof of Theorem nchoicelem1

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncdiv3 6278	. 2 ⊢ (A ∈ Nn → ∃n ∈ Nn (A = ((n +c n) +c n) ∨ A = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ A = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
2		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (n ∈ Nn → n ∈ Nn )
3		nntccl 6171	. . . . . . 7 ⊢ (n ∈ Nn → Tc n ∈ Nn )
4		nnc3n3p1 6279	. . . . . . 7 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ Tc n ∈ Nn ) → ¬ ((n +c n) +c n) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 1c))
5	2, 3, 4	syl2anc 642	. . . . . 6 ⊢ (n ∈ Nn → ¬ ((n +c n) +c n) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 1c))
6		nncaddccl 4420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((n ∈ Nn ∧ n ∈ Nn ) → (n +c n) ∈ Nn )
7	6	anidms 626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (n ∈ Nn → (n +c n) ∈ Nn )
8		nnnc 6147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((n +c n) ∈ Nn → (n +c n) ∈ NC )
9	7, 8	syl 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (n ∈ Nn → (n +c n) ∈ NC )
10		nnnc 6147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (n ∈ Nn → n ∈ NC )
11		tcdi 6165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((n +c n) ∈ NC ∧ n ∈ NC ) → Tc ((n +c n) +c n) = ( Tc (n +c n) +c Tc n))
12	9, 10, 11	syl2anc 642	. . . . . . . . 9 ⊢ (n ∈ Nn → Tc ((n +c n) +c n) = ( Tc (n +c n) +c Tc n))
13		tcdi 6165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((n ∈ NC ∧ n ∈ NC ) → Tc (n +c n) = ( Tc n +c Tc n))
14	10, 10, 13	syl2anc 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (n ∈ Nn → Tc (n +c n) = ( Tc n +c Tc n))
15	14	addceq1d 4390	. . . . . . . . 9 ⊢ (n ∈ Nn → ( Tc (n +c n) +c Tc n) = (( Tc n +c Tc n) +c Tc n))
16	12, 15	eqtrd 2385	. . . . . . . 8 ⊢ (n ∈ Nn → Tc ((n +c n) +c n) = (( Tc n +c Tc n) +c Tc n))
17	16	addceq1d 4390	. . . . . . 7 ⊢ (n ∈ Nn → ( Tc ((n +c n) +c n) +c 1c) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 1c))
18	17	eqeq2d 2364	. . . . . 6 ⊢ (n ∈ Nn → (((n +c n) +c n) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 1c) ↔ ((n +c n) +c n) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 1c)))
19	5, 18	mtbird 292	. . . . 5 ⊢ (n ∈ Nn → ¬ ((n +c n) +c n) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 1c))
20		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (A = ((n +c n) +c n) → A = ((n +c n) +c n))
21		tceq 6159	. . . . . . . 8 ⊢ (A = ((n +c n) +c n) → Tc A = Tc ((n +c n) +c n))
22	21	addceq1d 4390	. . . . . . 7 ⊢ (A = ((n +c n) +c n) → ( Tc A +c 1c) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 1c))
23	20, 22	eqeq12d 2367	. . . . . 6 ⊢ (A = ((n +c n) +c n) → (A = ( Tc A +c 1c) ↔ ((n +c n) +c n) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 1c)))
24	23	notbid 285	. . . . 5 ⊢ (A = ((n +c n) +c n) → (¬ A = ( Tc A +c 1c) ↔ ¬ ((n +c n) +c n) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c 1c)))
25	19, 24	syl5ibrcom 213	. . . 4 ⊢ (n ∈ Nn → (A = ((n +c n) +c n) → ¬ A = ( Tc A +c 1c)))
26		nncaddccl 4420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((n +c n) ∈ Nn ∧ n ∈ Nn ) → ((n +c n) +c n) ∈ Nn )
27	7, 2, 26	syl2anc 642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (n ∈ Nn → ((n +c n) +c n) ∈ Nn )
28		nnnc 6147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((n +c n) +c n) ∈ Nn → ((n +c n) +c n) ∈ NC )
29	27, 28	syl 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (n ∈ Nn → ((n +c n) +c n) ∈ NC )
30		1cnc 6140	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1c ∈ NC
31		tcdi 6165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((n +c n) +c n) ∈ NC ∧ 1c ∈ NC ) → Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c Tc 1c))
32	29, 30, 31	sylancl 643	. . . . . . . . 9 ⊢ (n ∈ Nn → Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc ((n +c n) +c n) +c Tc 1c))
33		tc1c 6166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Tc 1c = 1c
34	33	a1i 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (n ∈ Nn → Tc 1c = 1c)
35	16, 34	addceq12d 4392	. . . . . . . . 9 ⊢ (n ∈ Nn → ( Tc ((n +c n) +c n) +c Tc 1c) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 1c))
36	32, 35	eqtrd 2385	. . . . . . . 8 ⊢ (n ∈ Nn → Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 1c))
37	36	eqeq2d 2364	. . . . . . 7 ⊢ (n ∈ Nn → (((n +c n) +c n) = Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) ↔ ((n +c n) +c n) = ((( Tc n +c Tc n) +c Tc n) +c 1c)))
38	5, 37	mtbird 292	. . . . . 6 ⊢ (n ∈ Nn → ¬ ((n +c n) +c n) = Tc (((n +c n) +c n) +c 1c))
39		peano2 4404	. . . . . . . . 9 ⊢ (((n +c n) +c n) ∈ Nn → (((n +c n) +c n) +c 1c) ∈ Nn )
40	27, 39	syl 15	. . . . . . . 8 ⊢ (n ∈ Nn → (((n +c n) +c n) +c 1c) ∈ Nn )
41		nntccl 6171	. . . . . . . 8 ⊢ ((((n +c n) +c n) +c 1c) ∈ Nn → Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) ∈ Nn )
42	40, 41	syl 15	. . . . . . 7 ⊢ (n ∈ Nn → Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) ∈ Nn )
43		suc11nnc 4559	. . . . . . 7 ⊢ ((((n +c n) +c n) ∈ Nn ∧ Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) ∈ Nn ) → ((((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c) ↔ ((n +c n) +c n) = Tc (((n +c n) +c n) +c 1c)))
44	27, 42, 43	syl2anc 642	. . . . . 6 ⊢ (n ∈ Nn → ((((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c) ↔ ((n +c n) +c n) = Tc (((n +c n) +c n) +c 1c)))
45	38, 44	mtbird 292	. . . . 5 ⊢ (n ∈ Nn → ¬ (((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c))
46		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → A = (((n +c n) +c n) +c 1c))
47		tceq 6159	. . . . . . . 8 ⊢ (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → Tc A = Tc (((n +c n) +c n) +c 1c))
48	47	addceq1d 4390	. . . . . . 7 ⊢ (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → ( Tc A +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c))
49	46, 48	eqeq12d 2367	. . . . . 6 ⊢ (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → (A = ( Tc A +c 1c) ↔ (((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c)))
50	49	notbid 285	. . . . 5 ⊢ (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → (¬ A = ( Tc A +c 1c) ↔ ¬ (((n +c n) +c n) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 1c) +c 1c)))
51	45, 50	syl5ibrcom 213	. . . 4 ⊢ (n ∈ Nn → (A = (((n +c n) +c n) +c 1c) → ¬ A = ( Tc A +c 1c)))
52		peano2 4404	. . . . . . . . 9 ⊢ (n ∈ Nn → (n +c 1c) ∈ Nn )
53		nntccl 6171	. . . . . . . . 9 ⊢ ((n +c 1c) ∈ Nn → Tc (n +c 1c) ∈ Nn )
54	52, 53	syl 15	. . . . . . . 8 ⊢ (n ∈ Nn → Tc (n +c 1c) ∈ Nn )
55		nnc3n3p2 6280	. . . . . . . 8 ⊢ (( Tc (n +c 1c) ∈ Nn ∧ n ∈ Nn ) → ¬ (( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)) = (((n +c n) +c n) +c 2c))
56	54, 2, 55	syl2anc 642	. . . . . . 7 ⊢ (n ∈ Nn → ¬ (( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)) = (((n +c n) +c n) +c 2c))
57		2nnc 6168	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2c ∈ Nn
58		nncaddccl 4420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((n +c n) +c n) ∈ Nn ∧ 2c ∈ Nn ) → (((n +c n) +c n) +c 2c) ∈ Nn )
59	27, 57, 58	sylancl 643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (n ∈ Nn → (((n +c n) +c n) +c 2c) ∈ Nn )
60		nnnc 6147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((n +c n) +c n) +c 2c) ∈ Nn → (((n +c n) +c n) +c 2c) ∈ NC )
61	59, 60	syl 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (n ∈ Nn → (((n +c n) +c n) +c 2c) ∈ NC )
62		tcdi 6165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((n +c n) +c n) +c 2c) ∈ NC ∧ 1c ∈ NC ) → Tc ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c Tc 1c))
63	61, 30, 62	sylancl 643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (n ∈ Nn → Tc ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c Tc 1c))
64	63	eqcomd 2358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (n ∈ Nn → ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c Tc 1c) = Tc ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c))
65	33	addceq2i 4388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c Tc 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c)
66		addccom 4407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1c +c 1c) +c n) = (n +c (1c +c 1c))
67		1p1e2c 6156	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1c +c 1c) = 2c
68	67	addceq2i 4388	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (n +c (1c +c 1c)) = (n +c 2c)
69	66, 68	eqtr2i 2374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (n +c 2c) = ((1c +c 1c) +c n)
70	69	addceq1i 4387	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((n +c 2c) +c 1c) = (((1c +c 1c) +c n) +c 1c)
71		addcass 4416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((n +c 2c) +c 1c) = (n +c (2c +c 1c))
72		addcass 4416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1c +c 1c) +c n) +c 1c) = ((1c +c 1c) +c (n +c 1c))
73	70, 71, 72	3eqtr3i 2381	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (n +c (2c +c 1c)) = ((1c +c 1c) +c (n +c 1c))
74	73	addceq2i 4388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((n +c n) +c (n +c (2c +c 1c))) = ((n +c n) +c ((1c +c 1c) +c (n +c 1c)))
75		addcass 4416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((n +c n) +c n) +c (2c +c 1c)) = ((n +c n) +c (n +c (2c +c 1c)))
76		addcass 4416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((n +c n) +c (1c +c 1c)) +c (n +c 1c)) = ((n +c n) +c ((1c +c 1c) +c (n +c 1c)))
77	74, 75, 76	3eqtr4i 2383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((n +c n) +c n) +c (2c +c 1c)) = (((n +c n) +c (1c +c 1c)) +c (n +c 1c))
78		addcass 4416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c (2c +c 1c))
79		addc4 4418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) = ((n +c n) +c (1c +c 1c))
80	79	addceq1i 4387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)) = (((n +c n) +c (1c +c 1c)) +c (n +c 1c))
81	77, 78, 80	3eqtr4i 2383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c))
82		tceq 6159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)) → Tc ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = Tc (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)))
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ Tc ((((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = Tc (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c))
84	64, 65, 83	3eqtr3g 2408	. . . . . . . . 9 ⊢ (n ∈ Nn → ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = Tc (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)))
85		nnnc 6147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((n +c 1c) ∈ Nn → (n +c 1c) ∈ NC )
86	52, 85	syl 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (n ∈ Nn → (n +c 1c) ∈ NC )
87		ncaddccl 6145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((n +c 1c) ∈ NC ∧ (n +c 1c) ∈ NC ) → ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) ∈ NC )
88	86, 86, 87	syl2anc 642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (n ∈ Nn → ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) ∈ NC )
89		tcdi 6165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((n +c 1c) +c (n +c 1c)) ∈ NC ∧ (n +c 1c) ∈ NC ) → Tc (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)) = ( Tc ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)))
90	88, 86, 89	syl2anc 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (n ∈ Nn → Tc (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)) = ( Tc ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)))
91		tcdi 6165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((n +c 1c) ∈ NC ∧ (n +c 1c) ∈ NC ) → Tc ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) = ( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)))
92	86, 86, 91	syl2anc 642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (n ∈ Nn → Tc ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) = ( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)))
93	92	addceq1d 4390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (n ∈ Nn → ( Tc ((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)) = (( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)))
94	90, 93	eqtrd 2385	. . . . . . . . 9 ⊢ (n ∈ Nn → Tc (((n +c 1c) +c (n +c 1c)) +c (n +c 1c)) = (( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)))
95	84, 94	eqtrd 2385	. . . . . . . 8 ⊢ (n ∈ Nn → ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)))
96	95	eqeq1d 2361	. . . . . . 7 ⊢ (n ∈ Nn → (( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c) ↔ (( Tc (n +c 1c) +c Tc (n +c 1c)) +c Tc (n +c 1c)) = (((n +c n) +c n) +c 2c)))
97	56, 96	mtbird 292	. . . . . 6 ⊢ (n ∈ Nn → ¬ ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c))
98		eqcom 2355	. . . . . 6 ⊢ (( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c) = (((n +c n) +c n) +c 2c) ↔ (((n +c n) +c n) +c 2c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c))
99	97, 98	sylnib 295	. . . . 5 ⊢ (n ∈ Nn → ¬ (((n +c n) +c n) +c 2c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c))
100		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → A = (((n +c n) +c n) +c 2c))
101		tceq 6159	. . . . . . . 8 ⊢ (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → Tc A = Tc (((n +c n) +c n) +c 2c))
102	101	addceq1d 4390	. . . . . . 7 ⊢ (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → ( Tc A +c 1c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c))
103	100, 102	eqeq12d 2367	. . . . . 6 ⊢ (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → (A = ( Tc A +c 1c) ↔ (((n +c n) +c n) +c 2c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c)))
104	103	notbid 285	. . . . 5 ⊢ (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → (¬ A = ( Tc A +c 1c) ↔ ¬ (((n +c n) +c n) +c 2c) = ( Tc (((n +c n) +c n) +c 2c) +c 1c)))
105	99, 104	syl5ibrcom 213	. . . 4 ⊢ (n ∈ Nn → (A = (((n +c n) +c n) +c 2c) → ¬ A = ( Tc A +c 1c)))
106	25, 51, 105	3jaod 1246	. . 3 ⊢ (n ∈ Nn → ((A = ((n +c n) +c n) ∨ A = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ A = (((n +c n) +c n) +c 2c)) → ¬ A = ( Tc A +c 1c)))
107	106	rexlimiv 2733	. 2 ⊢ (∃n ∈ Nn (A = ((n +c n) +c n) ∨ A = (((n +c n) +c n) +c 1c) ∨ A = (((n +c n) +c n) +c 2c)) → ¬ A = ( Tc A +c 1c))
108	1, 107	syl 15	1 ⊢ (A ∈ Nn → ¬ A = ( Tc A +c 1c))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 176   ∨ w3o 933   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃wrex 2616  1_cc1c 4135   Nn cnnc 4374   +_c cplc 4376   NC cncs 6089   T_c ctc 6094  2_cc2c 6095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-csb 3138  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3972  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-1st 4724  df-swap 4725  df-sset 4726  df-co 4727  df-ima 4728  df-si 4729  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790  df-fn 4791  df-f 4792  df-f1 4793  df-fo 4794  df-f1o 4795  df-fv 4796  df-2nd 4798  df-ov 5527  df-oprab 5529  df-mpt 5653  df-mpt2 5655  df-txp 5737  df-cup 5743  df-disj 5745  df-addcfn 5747  df-ins2 5751  df-ins3 5753  df-image 5755  df-ins4 5757  df-si3 5759  df-funs 5761  df-fns 5763  df-trans 5900  df-sym 5909  df-er 5910  df-ec 5948  df-qs 5952  df-en 6030  df-ncs 6099  df-lec 6100  df-nc 6102  df-tc 6104  df-2c 6105

This theorem is referenced by:  nchoice  6309