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Theorem ac6sfi 6382
Description: Existence of a choice function for finite sets. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Jun-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ac6sfi.1  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6sfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, f, A   
y, f, B, x    ph, f    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, f)    A( y)

Proof of Theorem ac6sfi
Dummy variables  u  w  z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2522 . . . 4  |-  ( u  =  (/)  ->  ( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  (/)  E. y  e.  B  ph ) )
2 feq2 5058 . . . . . 6  |-  ( u  =  (/)  ->  ( f : u --> B  <->  f : (/) --> B ) )
3 raleq 2522 . . . . . 6  |-  ( u  =  (/)  ->  ( A. x  e.  u  ps  <->  A. x  e.  (/)  ps )
)
42, 3anbi12d 450 . . . . 5  |-  ( u  =  (/)  ->  ( ( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps ) 
<->  ( f : (/) --> B  /\  A. x  e.  (/)  ps ) ) )
54exbidv 1722 . . . 4  |-  ( u  =  (/)  ->  ( E. f ( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps ) 
<->  E. f ( f : (/) --> B  /\  A. x  e.  (/)  ps )
) )
61, 5imbi12d 227 . . 3  |-  ( u  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph 
->  E. f ( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps ) )  <->  ( A. x  e.  (/)  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : (/) --> B  /\  A. x  e.  (/)  ps ) ) ) )
7 raleq 2522 . . . 4  |-  ( u  =  w  ->  ( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  w  E. y  e.  B  ph )
)
8 feq2 5058 . . . . . 6  |-  ( u  =  w  ->  (
f : u --> B  <->  f :
w --> B ) )
9 raleq 2522 . . . . . 6  |-  ( u  =  w  ->  ( A. x  e.  u  ps 
<-> 
A. x  e.  w  ps ) )
108, 9anbi12d 450 . . . . 5  |-  ( u  =  w  ->  (
( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps )  <->  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps ) ) )
1110exbidv 1722 . . . 4  |-  ( u  =  w  ->  ( E. f ( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps ) 
<->  E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps ) ) )
127, 11imbi12d 227 . . 3  |-  ( u  =  w  ->  (
( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps )
)  <->  ( A. x  e.  w  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
) ) )
13 raleq 2522 . . . 4  |-  ( u  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) E. y  e.  B  ph ) )
14 feq2 5058 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( f : u --> B  <->  f :
( w  u.  {
z } ) --> B ) )
15 raleq 2522 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  u  ps  <->  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) ps ) )
1614, 15anbi12d 450 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps ) 
<->  ( f : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) ps ) ) )
1716exbidv 1722 . . . . 5  |-  ( u  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( E. f
( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps )  <->  E. f ( f : ( w  u.  {
z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) ps ) ) )
18 feq1 5057 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( w  u.  { z } ) --> B  <->  g :
( w  u.  {
z } ) --> B ) )
19 vex 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
20 vex 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
2119, 20fvex 5222 . . . . . . . . . 10  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
22 ac6sfi.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2321, 22sbcie 2819 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  ps )
24 fveq1 5204 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  x )  =  ( g `  x ) )
2524sbceq1d 2791 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) )
2623, 25syl5bbr 187 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  g  ->  ( ps 
<-> 
[. ( g `  x )  /  y ]. ph ) )
2726ralbidv 2343 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  ( A. x  e.  (
w  u.  { z } ) ps  <->  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) )
2818, 27anbi12d 450 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) ps )  <->  ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) )
2928cbvexv 1811 . . . . 5  |-  ( E. f ( f : ( w  u.  {
z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) ps )  <->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) )
3017, 29syl6bb 189 . . . 4  |-  ( u  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( E. f
( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps )  <->  E. g ( g : ( w  u.  {
z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) )
3113, 30imbi12d 227 . . 3  |-  ( u  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps ) )  <->  ( A. x  e.  ( w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph 
->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) ) )
32 raleq 2522 . . . 4  |-  ( u  =  A  ->  ( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
)
33 feq2 5058 . . . . . 6  |-  ( u  =  A  ->  (
f : u --> B  <->  f : A
--> B ) )
34 raleq 2522 . . . . . 6  |-  ( u  =  A  ->  ( A. x  e.  u  ps 
<-> 
A. x  e.  A  ps ) )
3533, 34anbi12d 450 . . . . 5  |-  ( u  =  A  ->  (
( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
3635exbidv 1722 . . . 4  |-  ( u  =  A  ->  ( E. f ( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps ) 
<->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
3732, 36imbi12d 227 . . 3  |-  ( u  =  A  ->  (
( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps )
)  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) ) )
38 f0 5107 . . . 4  |-  (/) : (/) --> B
39 0ex 3911 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
40 ral0 3349 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  (/)  ps
4140biantru 290 . . . . . 6  |-  ( f : (/) --> B  <->  ( f : (/) --> B  /\  A. x  e.  (/)  ps )
)
42 feq1 5057 . . . . . 6  |-  ( f  =  (/)  ->  ( f : (/) --> B  <->  (/) : (/) --> B ) )
4341, 42syl5bbr 187 . . . . 5  |-  ( f  =  (/)  ->  ( ( f : (/) --> B  /\  A. x  e.  (/)  ps )  <->  (/) :
(/) --> B ) )
4439, 43spcev 2664 . . . 4  |-  ( (/) :
(/) --> B  ->  E. f
( f : (/) --> B  /\  A. x  e.  (/)  ps ) )
4538, 44mp1i 10 . . 3  |-  ( A. x  e.  (/)  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : (/) --> B  /\  A. x  e.  (/)  ps ) )
46 ssun1 3133 . . . . . . 7  |-  w  C_  ( w  u.  { z } )
47 ssralv 3031 . . . . . . 7  |-  ( w 
C_  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) E. y  e.  B  ph  ->  A. x  e.  w  E. y  e.  B  ph ) )
4846, 47ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph 
->  A. x  e.  w  E. y  e.  B  ph )
4948imim1i 58 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  w  E. y  e.  B  ph 
->  E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps ) )  ->  ( A. x  e.  (
w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
) )
50 ssun2 3134 . . . . . . . . 9  |-  { z }  C_  ( w  u.  { z } )
51 ssralv 3031 . . . . . . . . 9  |-  ( { z }  C_  (
w  u.  { z } )  ->  ( A. x  e.  (
w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph  ->  A. x  e.  { z } E. y  e.  B  ph )
)
5250, 51ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph 
->  A. x  e.  {
z } E. y  e.  B  ph )
53 vex 2577 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
54 ralsnsg 3434 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { z } E. y  e.  B  ph  <->  [. z  /  x ]. E. y  e.  B  ph ) )
5553, 54ax-mp 7 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  { z } E. y  e.  B  ph  <->  [. z  /  x ]. E. y  e.  B  ph )
56 sbcrex 2864 . . . . . . . . 9  |-  ( [. z  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  [. z  /  x ]. ph )
5755, 56bitri 177 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  { z } E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  [. z  /  x ]. ph )
5852, 57sylib 131 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph 
->  E. y  e.  B  [. z  /  x ]. ph )
59 nfv 1437 . . . . . . . 8  |-  F/ y  -.  z  e.  w
60 nfv 1437 . . . . . . . . 9  |-  F/ y E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
61 nfv 1437 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  g : ( w  u.  { z } ) --> B
62 nfcv 2194 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y
( w  u.  {
z } )
63 nfsbc1v 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y
[. ( g `  x )  /  y ]. ph
6462, 63nfralxy 2377 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. x  e.  ( w  u.  { z } ) [. (
g `  x )  /  y ]. ph
6561, 64nfan 1473 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( g : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) [. ( g `
 x )  / 
y ]. ph )
6665nfex 1544 . . . . . . . . 9  |-  F/ y E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph )
6760, 66nfim 1480 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )  ->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) )
68 simprl 491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  f :
w --> B )
69 vex 2577 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
7053, 69f1osn 5193 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. z ,  y >. } : { z } -1-1-onto-> { y }
71 f1of 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( {
<. z ,  y >. } : { z } -1-1-onto-> { y }  ->  { <. z ,  y >. } : { z } --> { y } )
7270, 71mp1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  { <. z ,  y >. } : { z } --> { y } )
73 simpl2 919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  y  e.  B )
7473snssd 3536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  { y }  C_  B )
7572, 74fssd 5082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  { <. z ,  y >. } : { z } --> B )
76 simpl1 918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  -.  z  e.  w )
77 disjsn 3459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  w )
7876, 77sylibr 141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  ( w  i^i  { z } )  =  (/) )
79 fun2 5091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : w --> B  /\  { <. z ,  y >. } : { z } --> B )  /\  ( w  i^i 
{ z } )  =  (/) )  ->  (
f  u.  { <. z ,  y >. } ) : ( w  u. 
{ z } ) --> B )
8068, 75, 78, 79syl21anc 1145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  ( f  u.  { <. z ,  y
>. } ) : ( w  u.  { z } ) --> B )
81 simprr 492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  A. x  e.  w  ps )
82 eleq1a 2125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  w  ->  (
z  =  x  -> 
z  e.  w ) )
8382necon3bd 2263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  w  ->  ( -.  z  e.  w  ->  z  =/=  x ) )
8483impcom 120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  z  e.  w  /\  x  e.  w
)  ->  z  =/=  x )
85 fvunsng 5384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  _V  /\  z  =/=  x )  -> 
( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  =  ( f `
 x ) )
8620, 85mpan 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =/=  x  ->  (
( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `  x
)  =  ( f `
 x ) )
87 dfsbcq 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `  x
)  =  ( f `
 x )  -> 
( [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph  <->  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph ) )
8887, 23syl6rbb 190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `  x
)  =  ( f `
 x )  -> 
( ps  <->  [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph ) )
8984, 86, 883syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  z  e.  w  /\  x  e.  w
)  ->  ( ps  <->  [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph ) )
9089ralbidva 2339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( A. x  e.  w  ps  <->  A. x  e.  w  [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph ) )
9176, 90syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  ( A. x  e.  w  ps  <->  A. x  e.  w  [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph ) )
9281, 91mpbid 139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  A. x  e.  w  [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph )
93 simpl3 920 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  [. z  /  x ]. ph )
94 ffun 5075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) : ( w  u. 
{ z } ) --> B  ->  Fun  ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) )
95 ssun2 3134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { <. z ,  y >. }  C_  ( f  u.  { <. z ,  y >. } )
96 vsnid 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  e. 
{ z }
9769dmsnop 4821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  { <. z ,  y >. }  =  { z }
9896, 97eleqtrri 2129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
dom  { <. z ,  y
>. }
99 funssfv 5226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } )  /\  { <. z ,  y >. }  C_  ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } )  /\  z  e.  dom  { <. z ,  y >. } )  ->  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 z )  =  ( { <. z ,  y >. } `  z ) )
10095, 98, 99mp3an23 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun  ( f  u.  { <. z ,  y >. } )  ->  (
( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `  z
)  =  ( {
<. z ,  y >. } `  z )
)
10180, 94, 1003syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  ( (
f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 z )  =  ( { <. z ,  y >. } `  z ) )
10253, 69fvsn 5385 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( {
<. z ,  y >. } `  z )  =  y
103101, 102syl6req 2105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  y  =  ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  z
) )
104 ralsnsg 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { z } ph  <->  [. z  /  x ]. ph ) )
10553, 104ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  { z } ph  <->  [. z  /  x ]. ph )
106 elsni 3420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  { z }  ->  x  =  z )
107106fveq2d 5209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  { z }  ->  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  =  ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  z
) )
108107eqeq2d 2067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  { z }  ->  ( y  =  ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  <->  y  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `  z
) ) )
109108biimparc 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 z )  /\  x  e.  { z } )  ->  y  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x ) )
110 sbceq1a 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  -> 
( ph  <->  [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph ) )
111109, 110syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 z )  /\  x  e.  { z } )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph ) )
112111ralbidva 2339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 z )  -> 
( A. x  e. 
{ z } ph  <->  A. x  e.  { z } [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph ) )
113105, 112syl5bbr 187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 z )  -> 
( [. z  /  x ]. ph  <->  A. x  e.  {
z } [. (
( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `  x
)  /  y ]. ph ) )
114103, 113syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  ( [. z  /  x ]. ph  <->  A. x  e.  { z } [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph ) )
11593, 114mpbid 139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  A. x  e.  { z } [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph )
116 ralun 3152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  w  [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph 
/\  A. x  e.  {
z } [. (
( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `  x
)  /  y ]. ph )  ->  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph )
11792, 115, 116syl2anc 397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph )
11853, 69opex 3993 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. z ,  y >.  e.  _V
119118snex 3964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. z ,  y >. }  e.  _V
12019, 119unex 4203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  u.  { <. z ,  y >. } )  e.  _V
121 feq1 5057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } )  ->  (
g : ( w  u.  { z } ) --> B  <->  ( f  u.  { <. z ,  y
>. } ) : ( w  u.  { z } ) --> B ) )
122 fveq1 5204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } )  ->  (
g `  x )  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x ) )
123122sbceq1d 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } )  ->  ( [. ( g `  x
)  /  y ]. ph  <->  [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph ) )
124123ralbidv 2343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } )  ->  ( A. x  e.  (
w  u.  { z } ) [. (
g `  x )  /  y ]. ph  <->  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph ) )
125121, 124anbi12d 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } )  ->  (
( g : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) [. ( g `
 x )  / 
y ]. ph )  <->  ( (
f  u.  { <. z ,  y >. } ) : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph ) ) )
126120, 125spcev 2664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph )  ->  E. g ( g : ( w  u.  {
z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) )
12780, 117, 126syl2anc 397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  E. g
( g : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) [. ( g `
 x )  / 
y ]. ph ) )
128127ex 112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  ->  (
( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )  ->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) )
129128exlimdv 1716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  ->  ( E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )  ->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) )
1301293exp 1114 . . . . . . . 8  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( y  e.  B  ->  ( [. z  /  x ]. ph  ->  ( E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )  ->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) ) ) )
13159, 67, 130rexlimd 2447 . . . . . . 7  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( E. y  e.  B  [. z  /  x ]. ph  ->  ( E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )  ->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) ) )
13258, 131syl5 32 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) E. y  e.  B  ph  ->  ( E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )  ->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) ) )
133132a2d 26 . . . . 5  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( ( A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps ) )  ->  ( A. x  e.  (
w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph  ->  E. g
( g : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) [. ( g `
 x )  / 
y ]. ph ) ) ) )
13449, 133syl5 32 . . . 4  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( ( A. x  e.  w  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  ( A. x  e.  ( w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph 
->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) ) )
135134adantl 266 . . 3  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  -.  z  e.  w
)  ->  ( ( A. x  e.  w  E. y  e.  B  ph 
->  E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps ) )  ->  ( A. x  e.  (
w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph  ->  E. g
( g : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) [. ( g `
 x )  / 
y ]. ph ) ) ) )
1366, 12, 31, 37, 45, 135findcard2s 6377 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
137136imp 119 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409    =/= wne 2220   A.wral 2323   E.wrex 2324   _Vcvv 2574   [.wsbc 2786    u. cun 2942    i^i cin 2943    C_ wss 2944   (/)c0 3251   {csn 3402   <.cop 3405   dom cdm 4372   Fun wfun 4923   -->wf 4925   -1-1-onto->wf1o 4928   ` cfv 4929   Fincfn 6251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-if 3359  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-er 6136  df-en 6252  df-fin 6254
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