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Theorem ac6sfi 6455
Description: Existence of a choice function for finite sets. (Contributed by Jeff Hankins, 26-Jun-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ac6sfi.1  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ac6sfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Distinct variable groups:    x, f, A   
y, f, B, x    ph, f    ps, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    ps( x, f)    A( y)

Proof of Theorem ac6sfi
Dummy variables  u  w  z  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 2554 . . . 4  |-  ( u  =  (/)  ->  ( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  (/)  E. y  e.  B  ph ) )
2 feq2 5083 . . . . . 6  |-  ( u  =  (/)  ->  ( f : u --> B  <->  f : (/) --> B ) )
3 raleq 2554 . . . . . 6  |-  ( u  =  (/)  ->  ( A. x  e.  u  ps  <->  A. x  e.  (/)  ps )
)
42, 3anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( u  =  (/)  ->  ( ( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps ) 
<->  ( f : (/) --> B  /\  A. x  e.  (/)  ps ) ) )
54exbidv 1748 . . . 4  |-  ( u  =  (/)  ->  ( E. f ( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps ) 
<->  E. f ( f : (/) --> B  /\  A. x  e.  (/)  ps )
) )
61, 5imbi12d 232 . . 3  |-  ( u  =  (/)  ->  ( ( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph 
->  E. f ( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps ) )  <->  ( A. x  e.  (/)  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : (/) --> B  /\  A. x  e.  (/)  ps ) ) ) )
7 raleq 2554 . . . 4  |-  ( u  =  w  ->  ( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  w  E. y  e.  B  ph )
)
8 feq2 5083 . . . . . 6  |-  ( u  =  w  ->  (
f : u --> B  <->  f :
w --> B ) )
9 raleq 2554 . . . . . 6  |-  ( u  =  w  ->  ( A. x  e.  u  ps 
<-> 
A. x  e.  w  ps ) )
108, 9anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( u  =  w  ->  (
( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps )  <->  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps ) ) )
1110exbidv 1748 . . . 4  |-  ( u  =  w  ->  ( E. f ( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps ) 
<->  E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps ) ) )
127, 11imbi12d 232 . . 3  |-  ( u  =  w  ->  (
( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps )
)  <->  ( A. x  e.  w  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
) ) )
13 raleq 2554 . . . 4  |-  ( u  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) E. y  e.  B  ph ) )
14 feq2 5083 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( f : u --> B  <->  f :
( w  u.  {
z } ) --> B ) )
15 raleq 2554 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  u  ps  <->  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) ps ) )
1614, 15anbi12d 457 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps ) 
<->  ( f : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) ps ) ) )
1716exbidv 1748 . . . . 5  |-  ( u  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( E. f
( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps )  <->  E. f ( f : ( w  u.  {
z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) ps ) ) )
18 feq1 5082 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( w  u.  { z } ) --> B  <->  g :
( w  u.  {
z } ) --> B ) )
19 vex 2613 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
20 vex 2613 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
2119, 20fvex 5247 . . . . . . . . . 10  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
22 ac6sfi.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2321, 22sbcie 2858 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  ps )
24 fveq1 5229 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  x )  =  ( g `  x ) )
2524sbceq1d 2830 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) )
2623, 25syl5bbr 192 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  g  ->  ( ps 
<-> 
[. ( g `  x )  /  y ]. ph ) )
2726ralbidv 2373 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  ( A. x  e.  (
w  u.  { z } ) ps  <->  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) )
2818, 27anbi12d 457 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) ps )  <->  ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) )
2928cbvexv 1838 . . . . 5  |-  ( E. f ( f : ( w  u.  {
z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) ps )  <->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) )
3017, 29syl6bb 194 . . . 4  |-  ( u  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( E. f
( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps )  <->  E. g ( g : ( w  u.  {
z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) )
3113, 30imbi12d 232 . . 3  |-  ( u  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps ) )  <->  ( A. x  e.  ( w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph 
->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) ) )
32 raleq 2554 . . . 4  |-  ( u  =  A  ->  ( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
)
33 feq2 5083 . . . . . 6  |-  ( u  =  A  ->  (
f : u --> B  <->  f : A
--> B ) )
34 raleq 2554 . . . . . 6  |-  ( u  =  A  ->  ( A. x  e.  u  ps 
<-> 
A. x  e.  A  ps ) )
3533, 34anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( u  =  A  ->  (
( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps )  <->  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
3635exbidv 1748 . . . 4  |-  ( u  =  A  ->  ( E. f ( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps ) 
<->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
3732, 36imbi12d 232 . . 3  |-  ( u  =  A  ->  (
( A. x  e.  u  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : u --> B  /\  A. x  e.  u  ps )
)  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) ) )
38 f0 5132 . . . 4  |-  (/) : (/) --> B
39 0ex 3926 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
40 ral0 3360 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  (/)  ps
4140biantru 296 . . . . . 6  |-  ( f : (/) --> B  <->  ( f : (/) --> B  /\  A. x  e.  (/)  ps )
)
42 feq1 5082 . . . . . 6  |-  ( f  =  (/)  ->  ( f : (/) --> B  <->  (/) : (/) --> B ) )
4341, 42syl5bbr 192 . . . . 5  |-  ( f  =  (/)  ->  ( ( f : (/) --> B  /\  A. x  e.  (/)  ps )  <->  (/) :
(/) --> B ) )
4439, 43spcev 2701 . . . 4  |-  ( (/) :
(/) --> B  ->  E. f
( f : (/) --> B  /\  A. x  e.  (/)  ps ) )
4538, 44mp1i 10 . . 3  |-  ( A. x  e.  (/)  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : (/) --> B  /\  A. x  e.  (/)  ps ) )
46 ssun1 3146 . . . . . . 7  |-  w  C_  ( w  u.  { z } )
47 ssralv 3068 . . . . . . 7  |-  ( w 
C_  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) E. y  e.  B  ph  ->  A. x  e.  w  E. y  e.  B  ph ) )
4846, 47ax-mp 7 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph 
->  A. x  e.  w  E. y  e.  B  ph )
4948imim1i 59 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  w  E. y  e.  B  ph 
->  E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps ) )  ->  ( A. x  e.  (
w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
) )
50 ssun2 3147 . . . . . . . . 9  |-  { z }  C_  ( w  u.  { z } )
51 ssralv 3068 . . . . . . . . 9  |-  ( { z }  C_  (
w  u.  { z } )  ->  ( A. x  e.  (
w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph  ->  A. x  e.  { z } E. y  e.  B  ph )
)
5250, 51ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  ( w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph 
->  A. x  e.  {
z } E. y  e.  B  ph )
53 vex 2613 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
54 ralsnsg 3449 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { z } E. y  e.  B  ph  <->  [. z  /  x ]. E. y  e.  B  ph ) )
5553, 54ax-mp 7 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  { z } E. y  e.  B  ph  <->  [. z  /  x ]. E. y  e.  B  ph )
56 sbcrex 2903 . . . . . . . . 9  |-  ( [. z  /  x ]. E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  [. z  /  x ]. ph )
5755, 56bitri 182 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  { z } E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  [. z  /  x ]. ph )
5852, 57sylib 120 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph 
->  E. y  e.  B  [. z  /  x ]. ph )
59 nfv 1462 . . . . . . . 8  |-  F/ y  -.  z  e.  w
60 nfv 1462 . . . . . . . . 9  |-  F/ y E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
61 nfv 1462 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  g : ( w  u.  { z } ) --> B
62 nfcv 2223 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y
( w  u.  {
z } )
63 nfsbc1v 2843 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y
[. ( g `  x )  /  y ]. ph
6462, 63nfralxy 2407 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. x  e.  ( w  u.  { z } ) [. (
g `  x )  /  y ]. ph
6561, 64nfan 1498 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( g : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) [. ( g `
 x )  / 
y ]. ph )
6665nfex 1569 . . . . . . . . 9  |-  F/ y E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph )
6760, 66nfim 1505 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )  ->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) )
68 simprl 498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  f :
w --> B )
69 vex 2613 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
7053, 69f1osn 5218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. z ,  y >. } : { z } -1-1-onto-> { y }
71 f1of 5178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( {
<. z ,  y >. } : { z } -1-1-onto-> { y }  ->  { <. z ,  y >. } : { z } --> { y } )
7270, 71mp1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  { <. z ,  y >. } : { z } --> { y } )
73 simpl2 943 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  y  e.  B )
7473snssd 3551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  { y }  C_  B )
7572, 74fssd 5107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  { <. z ,  y >. } : { z } --> B )
76 simpl1 942 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  -.  z  e.  w )
77 disjsn 3473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  w )
7876, 77sylibr 132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  ( w  i^i  { z } )  =  (/) )
79 fun2 5116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : w --> B  /\  { <. z ,  y >. } : { z } --> B )  /\  ( w  i^i 
{ z } )  =  (/) )  ->  (
f  u.  { <. z ,  y >. } ) : ( w  u. 
{ z } ) --> B )
8068, 75, 78, 79syl21anc 1169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  ( f  u.  { <. z ,  y
>. } ) : ( w  u.  { z } ) --> B )
81 simprr 499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  A. x  e.  w  ps )
82 eleq1a 2154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  w  ->  (
z  =  x  -> 
z  e.  w ) )
8382necon3bd 2292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  w  ->  ( -.  z  e.  w  ->  z  =/=  x ) )
8483impcom 123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  z  e.  w  /\  x  e.  w
)  ->  z  =/=  x )
85 fvunsng 5410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  _V  /\  z  =/=  x )  -> 
( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  =  ( f `
 x ) )
8620, 85mpan 415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =/=  x  ->  (
( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `  x
)  =  ( f `
 x ) )
87 dfsbcq 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `  x
)  =  ( f `
 x )  -> 
( [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph  <->  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph ) )
8887, 23syl6rbb 195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `  x
)  =  ( f `
 x )  -> 
( ps  <->  [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph ) )
8984, 86, 883syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  z  e.  w  /\  x  e.  w
)  ->  ( ps  <->  [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph ) )
9089ralbidva 2369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( A. x  e.  w  ps  <->  A. x  e.  w  [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph ) )
9176, 90syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  ( A. x  e.  w  ps  <->  A. x  e.  w  [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph ) )
9281, 91mpbid 145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  A. x  e.  w  [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph )
93 simpl3 944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  [. z  /  x ]. ph )
94 ffun 5100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) : ( w  u. 
{ z } ) --> B  ->  Fun  ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) )
95 ssun2 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { <. z ,  y >. }  C_  ( f  u.  { <. z ,  y >. } )
96 vsnid 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  z  e. 
{ z }
9769dmsnop 4845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  { <. z ,  y >. }  =  { z }
9896, 97eleqtrri 2158 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e. 
dom  { <. z ,  y
>. }
99 funssfv 5252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } )  /\  { <. z ,  y >. }  C_  ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } )  /\  z  e.  dom  { <. z ,  y >. } )  ->  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 z )  =  ( { <. z ,  y >. } `  z ) )
10095, 98, 99mp3an23 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Fun  ( f  u.  { <. z ,  y >. } )  ->  (
( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `  z
)  =  ( {
<. z ,  y >. } `  z )
)
10180, 94, 1003syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  ( (
f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 z )  =  ( { <. z ,  y >. } `  z ) )
10253, 69fvsn 5411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( {
<. z ,  y >. } `  z )  =  y
103101, 102syl6req 2132 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  y  =  ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  z
) )
104 ralsnsg 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  _V  ->  ( A. x  e.  { z } ph  <->  [. z  /  x ]. ph ) )
10553, 104ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  { z } ph  <->  [. z  /  x ]. ph )
106 elsni 3435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  { z }  ->  x  =  z )
107106fveq2d 5234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  { z }  ->  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  =  ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  z
) )
108107eqeq2d 2094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  { z }  ->  ( y  =  ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  <->  y  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `  z
) ) )
109108biimparc 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 z )  /\  x  e.  { z } )  ->  y  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x ) )
110 sbceq1a 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  -> 
( ph  <->  [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph ) )
111109, 110syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 z )  /\  x  e.  { z } )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph ) )
112111ralbidva 2369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 z )  -> 
( A. x  e. 
{ z } ph  <->  A. x  e.  { z } [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph ) )
113105, 112syl5bbr 192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 z )  -> 
( [. z  /  x ]. ph  <->  A. x  e.  {
z } [. (
( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `  x
)  /  y ]. ph ) )
114103, 113syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  ( [. z  /  x ]. ph  <->  A. x  e.  { z } [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph ) )
11593, 114mpbid 145 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  A. x  e.  { z } [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph )
116 ralun 3165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  w  [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph 
/\  A. x  e.  {
z } [. (
( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `  x
)  /  y ]. ph )  ->  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph )
11792, 115, 116syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph )
11853, 69opex 4013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <. z ,  y >.  e.  _V
119118snex 3978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. z ,  y >. }  e.  _V
12019, 119unex 4223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  u.  { <. z ,  y >. } )  e.  _V
121 feq1 5082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } )  ->  (
g : ( w  u.  { z } ) --> B  <->  ( f  u.  { <. z ,  y
>. } ) : ( w  u.  { z } ) --> B ) )
122 fveq1 5229 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } )  ->  (
g `  x )  =  ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x ) )
123122sbceq1d 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } )  ->  ( [. ( g `  x
)  /  y ]. ph  <->  [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph ) )
124123ralbidv 2373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } )  ->  ( A. x  e.  (
w  u.  { z } ) [. (
g `  x )  /  y ]. ph  <->  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph ) )
125121, 124anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } )  ->  (
( g : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) [. ( g `
 x )  / 
y ]. ph )  <->  ( (
f  u.  { <. z ,  y >. } ) : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( ( f  u. 
{ <. z ,  y
>. } ) `  x
)  /  y ]. ph ) ) )
126120, 125spcev 2701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) [. ( ( f  u.  { <. z ,  y >. } ) `
 x )  / 
y ]. ph )  ->  E. g ( g : ( w  u.  {
z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) )
12780, 117, 126syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  /\  ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  E. g
( g : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) [. ( g `
 x )  / 
y ]. ph ) )
128127ex 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  ->  (
( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )  ->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) )
129128exlimdv 1742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  z  e.  w  /\  y  e.  B  /\  [. z  /  x ]. ph )  ->  ( E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )  ->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) )
1301293exp 1138 . . . . . . . 8  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( y  e.  B  ->  ( [. z  /  x ]. ph  ->  ( E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )  ->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) ) ) )
13159, 67, 130rexlimd 2479 . . . . . . 7  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( E. y  e.  B  [. z  /  x ]. ph  ->  ( E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )  ->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) ) )
13258, 131syl5 32 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) E. y  e.  B  ph  ->  ( E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )  ->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) ) )
133132a2d 26 . . . . 5  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( ( A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) E. y  e.  B  ph  ->  E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps ) )  ->  ( A. x  e.  (
w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph  ->  E. g
( g : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) [. ( g `
 x )  / 
y ]. ph ) ) ) )
13449, 133syl5 32 . . . 4  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( ( A. x  e.  w  E. y  e.  B  ph  ->  E. f
( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps )
)  ->  ( A. x  e.  ( w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph 
->  E. g ( g : ( w  u. 
{ z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  {
z } ) [. ( g `  x
)  /  y ]. ph ) ) ) )
135134adantl 271 . . 3  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  -.  z  e.  w
)  ->  ( ( A. x  e.  w  E. y  e.  B  ph 
->  E. f ( f : w --> B  /\  A. x  e.  w  ps ) )  ->  ( A. x  e.  (
w  u.  { z } ) E. y  e.  B  ph  ->  E. g
( g : ( w  u.  { z } ) --> B  /\  A. x  e.  ( w  u.  { z } ) [. ( g `
 x )  / 
y ]. ph ) ) ) )
1366, 12, 31, 37, 45, 135findcard2s 6447 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) ) )
137136imp 122 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434    =/= wne 2249   A.wral 2353   E.wrex 2354   _Vcvv 2610   [.wsbc 2825    u. cun 2981    i^i cin 2982    C_ wss 2983   (/)c0 3268   {csn 3417   <.cop 3420   dom cdm 4392   Fun wfun 4947   -->wf 4949   -1-1-onto->wf1o 4952   ` cfv 4953   Fincfn 6309
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-iord 4150  df-on 4152  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-er 6194  df-en 6310  df-fin 6312
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