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Theorem faclbnd 10487

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
faclbnd	$/\$

Proof of Theorem faclbnd Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 8979	. 2 $\/$
2		oveq1 5781	. . . . . . . 8
3	2	oveq2d 5790	. . . . . . 7
4		fveq2 5421	. . . . . . . 8
5	4	oveq2d 5790	. . . . . . 7
6	3, 5	breq12d 3942	. . . . . 6
7	6	imbi2d 229	. . . . 5
8		oveq1 5781	. . . . . . . 8
9	8	oveq2d 5790	. . . . . . 7
10		fveq2 5421	. . . . . . . 8
11	10	oveq2d 5790	. . . . . . 7
12	9, 11	breq12d 3942	. . . . . 6
13	12	imbi2d 229	. . . . 5
14		oveq1 5781	. . . . . . . 8
15	14	oveq2d 5790	. . . . . . 7
16		fveq2 5421	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 5790	. . . . . . 7
18	15, 17	breq12d 3942	. . . . . 6
19	18	imbi2d 229	. . . . 5
20		oveq1 5781	. . . . . . . 8
21	20	oveq2d 5790	. . . . . . 7
22		fveq2 5421	. . . . . . . 8
23	22	oveq2d 5790	. . . . . . 7
24	21, 23	breq12d 3942	. . . . . 6
25	24	imbi2d 229	. . . . 5
26		nnre 8727	. . . . . . 7
27		nnge1 8743	. . . . . . 7
28		elnnuz 9362	. . . . . . . 8
29	28	biimpi 119	. . . . . . 7
30	26, 27, 29	leexp2ad 10453	. . . . . 6
31		0p1e1 8834	. . . . . . . 8
32	31	oveq2i 5785	. . . . . . 7
33	32	a1i 9	. . . . . 6
34		fac0 10474	. . . . . . . 8
35	34	oveq2i 5785	. . . . . . 7
36		nnnn0 8984	. . . . . . . . . 10
37	26, 36	reexpcld 10441	. . . . . . . . 9
38	37	recnd 7794	. . . . . . . 8
39	38	mulid1d 7783	. . . . . . 7
40	35, 39	syl5eq 2184	. . . . . 6
41	30, 33, 40	3brtr4d 3960	. . . . 5
42	26	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		simpllr 523	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		peano2nn0 9017	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	42, 45	reexpcld 10441	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	36	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	42, 47	reexpcld 10441	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	43	faccld 10482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	nnred 8733	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	48, 50	remulcld 7796	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		nn0re 8986	. . . . . . . . . . . . . 14
53		peano2re 7898	. . . . . . . . . . . . . 14
54	43, 52, 53	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		nngt0 8745	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56	55	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		0re 7766	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58		ltle 7851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59	57, 58	mpan 420	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	42, 56, 59	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	42, 45, 60	expge0d 10442	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		simplr 519	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simprr 521	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	46, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63	lemul12ad 8700	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	anandis 581	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
66		nncn 8728	. . . . . . . . . . . . 13
67		expp1 10300	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
68	66, 44, 67	syl2an 287	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
69	68	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
70		facp1 10476	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	70	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	71	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73	38	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
74		faccl 10481	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74	nncnd 8734	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
77		nn0cn 8987	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		peano2cn 7897	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	79	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
81	73, 76, 80	mulassd 7789	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
82	72, 81	eqtr4d 2175	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
83	82	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	65, 69, 83	3brtr4d 3960	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	exp32 362	. . . . . . . . 9 $/\$
86	85	com23 78	. . . . . . . 8 $/\$
87		nn0ltp1le 9116	. . . . . . . . . . 11 $/\$
88	44, 36, 87	syl2anr 288	. . . . . . . . . 10 $/\$
89		peano2nn0 9017	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	44, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
91		reexpcl 10310	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
92	26, 90, 91	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
93	92	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
94	37	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
95	44	faccld 10482	. . . . . . . . . . . . . . 15
96	95	nnred 8733	. . . . . . . . . . . . . 14
97		remulcl 7748	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	37, 96, 97	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
99	98	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
100	26	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
101	27	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
102		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
103	90	ad2antlr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
104	103	nn0zd 9171	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
105		nnz 9073	. . . . . . . . . . . . . . . 16
106	105	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107		eluz 9339	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
108	104, 106, 107	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109	102, 108	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	100, 101, 109	leexp2ad 10453	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
111	37, 96	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
112		nn0re 8986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
113		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
114		nn0ge0 9002	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115	112, 113, 114	expge0d 10442	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116	36, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
117	95	nnge1d 8763	. . . . . . . . . . . . . . 15
118	116, 117	anim12i 336	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119		lemulge11 8624	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 118, 119	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
121	120	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
122	93, 94, 99, 110, 121	letrd 7886	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
123	122	ex 114	. . . . . . . . . 10 $/\$
124	88, 123	sylbid 149	. . . . . . . . 9 $/\$
125	124	a1dd 48	. . . . . . . 8 $/\$
126	105	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$
127	44	adantl 275	. . . . . . . . . 10 $/\$
128	127	nn0zd 9171	. . . . . . . . 9 $/\$
129		zlelttric 9099	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
130	126, 128, 129	syl2anc 408	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
131	86, 125, 130	mpjaod 707	. . . . . . 7 $/\$
132	131	expcom 115	. . . . . 6
133	132	a2d 26	. . . . 5
134	7, 13, 19, 25, 41, 133	nn0ind 9165	. . . 4
135	134	impcom 124	. . 3 $/\$
136		faccl 10481	. . . . . . . 8
137	136	nnnn0d 9030	. . . . . . 7
138	137	nn0ge0d 9033	. . . . . 6
139		nn0p1nn 9016	. . . . . . 7
140	139	0expd 10440	. . . . . 6
141		0exp0e1 10298	. . . . . . . 8
142	141	oveq1i 5784	. . . . . . 7
143	136	nncnd 8734	. . . . . . . 8
144	143	mulid2d 7784	. . . . . . 7
145	142, 144	syl5eq 2184	. . . . . 6
146	138, 140, 145	3brtr4d 3960	. . . . 5
147		oveq1 5781	. . . . . 6
148		oveq12 5783	. . . . . . . 8 $/\$
149	148	anidms 394	. . . . . . 7
150	149	oveq1d 5789	. . . . . 6
151	147, 150	breq12d 3942	. . . . 5
152	146, 151	syl5ibr 155	. . . 4
153	152	imp 123	. . 3 $/\$
154	135, 153	jaoian 784	. 2 $\/$ $/\$
155	1, 154	sylanb 282	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $\/$ wo 697

wceq 1331

wcel 1480 class class class wbr 3929

cfv 5123 (class class class)co 5774

cc 7618

cr 7619

cc0 7620

c1 7621

caddc 7623

cmul 7625

clt 7800

cle 7801

cn 8720

cn0 8977

cz 9054

cuz 9326

cexp 10292

cfa 10471

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 603 ax-in2 604 ax-io 698 ax-5 1423 ax-7 1424 ax-gen 1425 ax-ie1 1469 ax-ie2 1470 ax-8 1482 ax-10 1483 ax-11 1484 ax-i12 1485 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-13 1491 ax-14 1492 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-ext 2121 ax-coll 4043 ax-sep 4046 ax-nul 4054 ax-pow 4098 ax-pr 4131 ax-un 4355 ax-setind 4452 ax-iinf 4502 ax-cnex 7711 ax-resscn 7712 ax-1cn 7713 ax-1re 7714 ax-icn 7715 ax-addcl 7716 ax-addrcl 7717 ax-mulcl 7718 ax-mulrcl 7719 ax-addcom 7720 ax-mulcom 7721 ax-addass 7722 ax-mulass 7723 ax-distr 7724 ax-i2m1 7725 ax-0lt1 7726 ax-1rid 7727 ax-0id 7728 ax-rnegex 7729 ax-precex 7730 ax-cnre 7731 ax-pre-ltirr 7732 ax-pre-ltwlin 7733 ax-pre-lttrn 7734 ax-pre-apti 7735 ax-pre-ltadd 7736 ax-pre-mulgt0 7737 ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 820 df-3or 963 df-3an 964 df-tru 1334 df-fal 1337 df-nf 1437 df-sb 1736 df-eu 2002 df-mo 2003 df-clab 2126 df-cleq 2132 df-clel 2135 df-nfc 2270 df-ne 2309 df-nel 2404 df-ral 2421 df-rex 2422 df-reu 2423 df-rmo 2424 df-rab 2425 df-v 2688 df-sbc 2910 df-csb 3004 df-dif 3073 df-un 3075 df-in 3077 df-ss 3084 df-nul 3364 df-if 3475 df-pw 3512 df-sn 3533 df-pr 3534 df-op 3536 df-uni 3737 df-int 3772 df-iun 3815 df-br 3930 df-opab 3990 df-mpt 3991 df-tr 4027 df-id 4215 df-po 4218 df-iso 4219 df-iord 4288 df-on 4290 df-ilim 4291 df-suc 4293 df-iom 4505 df-xp 4545 df-rel 4546 df-cnv 4547 df-co 4548 df-dm 4549 df-rn 4550 df-res 4551 df-ima 4552 df-iota 5088 df-fun 5125 df-fn 5126 df-f 5127 df-f1 5128 df-fo 5129 df-f1o 5130 df-fv 5131 df-riota 5730 df-ov 5777 df-oprab 5778 df-mpo 5779 df-1st 6038 df-2nd 6039 df-recs 6202 df-frec 6288 df-pnf 7802 df-mnf 7803 df-xr 7804 df-ltxr 7805 df-le 7806 df-sub 7935 df-neg 7936 df-reap 8337 df-ap 8344 df-div 8433 df-inn 8721 df-n0 8978 df-z 9055 df-uz 9327 df-rp 9442 df-seqfrec 10219 df-exp 10293 df-fac 10472

This theorem is referenced by: faclbnd2 10488 faclbnd3 10489

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