MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqlem2 25077
Description: Lemma for 2sq 25089. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2sq.1 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
Assertion
Ref Expression
2sqlem2 (𝐴𝑆 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑤)   𝑆(𝑤)

Proof of Theorem 2sqlem2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sq.1 . . . 4 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
212sqlem1 25076 . . 3 (𝐴𝑆 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝐴 = ((abs‘𝑧)↑2))
3 elgz 15578 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℤ[i] ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ))
43simp2bi 1075 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ[i] → (ℜ‘𝑧) ∈ ℤ)
53simp3bi 1076 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ[i] → (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ)
6 gzcn 15579 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℤ[i] → 𝑧 ∈ ℂ)
76absvalsq2d 14132 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℤ[i] → ((abs‘𝑧)↑2) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + ((ℑ‘𝑧)↑2)))
8 oveq1 6622 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (𝑥↑2) = ((ℜ‘𝑧)↑2))
98oveq1d 6630 . . . . . . . 8 (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + (𝑦↑2)))
109eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (((abs‘𝑧)↑2) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((abs‘𝑧)↑2) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + (𝑦↑2))))
11 oveq1 6622 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (𝑦↑2) = ((ℑ‘𝑧)↑2))
1211oveq2d 6631 . . . . . . . 8 (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (((ℜ‘𝑧)↑2) + (𝑦↑2)) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + ((ℑ‘𝑧)↑2)))
1312eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (((abs‘𝑧)↑2) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((abs‘𝑧)↑2) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + ((ℑ‘𝑧)↑2))))
1410, 13rspc2ev 3313 . . . . . 6 (((ℜ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℤ ∧ ((abs‘𝑧)↑2) = (((ℜ‘𝑧)↑2) + ((ℑ‘𝑧)↑2))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((abs‘𝑧)↑2) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
154, 5, 7, 14syl3anc 1323 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ[i] → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((abs‘𝑧)↑2) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
16 eqeq1 2625 . . . . . 6 (𝐴 = ((abs‘𝑧)↑2) → (𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ((abs‘𝑧)↑2) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
17162rexbidv 3052 . . . . 5 (𝐴 = ((abs‘𝑧)↑2) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ ((abs‘𝑧)↑2) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
1815, 17syl5ibrcom 237 . . . 4 (𝑧 ∈ ℤ[i] → (𝐴 = ((abs‘𝑧)↑2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))))
1918rexlimiv 3022 . . 3 (∃𝑧 ∈ ℤ[i] 𝐴 = ((abs‘𝑧)↑2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
202, 19sylbi 207 . 2 (𝐴𝑆 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
21 gzreim 15586 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℤ[i])
22 zcn 11342 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
23 ax-icn 9955 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
24 zcn 11342 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
25 mulcl 9980 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
2623, 24, 25sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → (i · 𝑦) ∈ ℂ)
27 addcl 9978 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑦) ∈ ℂ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℂ)
2822, 26, 27syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℂ)
2928absvalsq2d 14132 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) = (((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) + ((ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2)))
30 zre 11341 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
31 zre 11341 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
32 crre 13804 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑥)
3330, 31, 32syl2an 494 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑥)
3433oveq1d 6630 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) = (𝑥↑2))
35 crim 13805 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑦)
3630, 31, 35syl2an 494 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦))) = 𝑦)
3736oveq1d 6630 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) = (𝑦↑2))
3834, 37oveq12d 6633 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((ℜ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2) + ((ℑ‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2)) = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
3929, 38eqtr2d 2656 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2))
40 fveq2 6158 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (abs‘𝑧) = (abs‘(𝑥 + (i · 𝑦))))
4140oveq1d 6630 . . . . . . . 8 (𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → ((abs‘𝑧)↑2) = ((abs‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2))
4241eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (𝑧 = (𝑥 + (i · 𝑦)) → (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘𝑧)↑2) ↔ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2)))
4342rspcev 3299 . . . . . 6 (((𝑥 + (i · 𝑦)) ∈ ℤ[i] ∧ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘(𝑥 + (i · 𝑦)))↑2)) → ∃𝑧 ∈ ℤ[i] ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘𝑧)↑2))
4421, 39, 43syl2anc 692 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∃𝑧 ∈ ℤ[i] ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘𝑧)↑2))
4512sqlem1 25076 . . . . 5 (((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ∈ 𝑆 ↔ ∃𝑧 ∈ ℤ[i] ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = ((abs‘𝑧)↑2))
4644, 45sylibr 224 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ∈ 𝑆)
47 eleq1 2686 . . . 4 (𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (𝐴𝑆 ↔ ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ∈ 𝑆))
4846, 47syl5ibrcom 237 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → 𝐴𝑆))
4948rexlimivv 3031 . 2 (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → 𝐴𝑆)
5020, 49impbii 199 1 (𝐴𝑆 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2909  cmpt 4683  ran crn 5085  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  ici 9898   + caddc 9899   · cmul 9901  2c2 11030  cz 11337  cexp 12816  cre 13787  cim 13788  abscabs 13924  ℤ[i]cgz 15576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-gz 15577
This theorem is referenced by:  2sqlem5  25081  2sqlem7  25083  2sq  25089
  Copyright terms: Public domain W3C validator