Theorem absimlere 40226

Description: The absolute value of the imaginary part of a complex number is a lower bound of the distance to any real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
absimlere.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
absimlere.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
absimlere	⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Proof of Theorem absimlere

Step	Hyp	Ref	Expression
1		absimlere.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		absimlere.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	recnd 10280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4	1, 3	subcld 10604	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
5		absimle 14268	. . 3 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝐵))) ≤ (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
7	1, 3	imsubd 14176	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)))
8	2	reim0d 14184	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐵) = 0)
9	8	oveq2d 6830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) − (ℑ‘𝐵)) = ((ℑ‘𝐴) − 0))
10	1	imcld 14154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 10280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
12	11	subid1d 10593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℑ‘𝐴) − 0) = (ℑ‘𝐴))
13	7, 9, 12	3eqtrrd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℑ‘𝐴) = (ℑ‘(𝐴 − 𝐵)))
14	13	fveq2d 6357	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) = (abs‘(ℑ‘(𝐴 − 𝐵))))
15	3, 1	abssubd 14411	. 2 ⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐵 − 𝐴)) = (abs‘(𝐴 − 𝐵)))
16	6, 14, 15	3brtr4d 4836	1 ⊢ (𝜑 → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘(𝐵 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  ℝcr 10147  0cc0 10148   ≤ cle 10287   − cmin 10478  ℑcim 14057  abscabs 14193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195

This theorem is referenced by:  cnrefiisplem  40576