Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlem1ri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlem1ri 30419
Description: When the vote on the first tie is for A, the first vote is also for A on the reverse counting. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
ballotth.r 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
Assertion
Ref Expression
ballotlem1ri (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (1 ∈ (𝑅𝐶) ↔ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐   𝑆,𝑘,𝑖,𝑐   𝑅,𝑖,𝑘   𝑥,𝑐   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑐)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlem1ri
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . 6 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
3 nnaddcl 11002 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
41, 2, 3mp2an 707 . . . . 5 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
5 nnuz 11683 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
64, 5eleqtri 2696 . . . 4 (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘1)
7 eluzfz1 12306 . . . 4 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
86, 7mp1i 13 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
9 ballotth.o . . . . . 6 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
10 ballotth.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
11 ballotth.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
12 ballotth.e . . . . . 6 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
13 ballotth.mgtn . . . . . 6 𝑁 < 𝑀
14 ballotth.i . . . . . 6 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
151, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14ballotlemiex 30386 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
1615simpld 475 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
17 elfzle1 12302 . . . 4 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → 1 ≤ (𝐼𝐶))
1816, 17syl 17 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ≤ (𝐼𝐶))
19 ballotth.s . . . 4 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
20 ballotth.r . . . 4 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
211, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 19, 20ballotlemrv1 30405 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ 1 ≤ (𝐼𝐶)) → (1 ∈ (𝑅𝐶) ↔ (((𝐼𝐶) + 1) − 1) ∈ 𝐶))
228, 18, 21mpd3an23 1423 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (1 ∈ (𝑅𝐶) ↔ (((𝐼𝐶) + 1) − 1) ∈ 𝐶))
23 elfzelz 12300 . . . . . 6 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
2416, 23syl 17 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
2524zcnd 11443 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℂ)
26 1cnd 10016 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ∈ ℂ)
2725, 26pncand 10353 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (((𝐼𝐶) + 1) − 1) = (𝐼𝐶))
2827eleq1d 2683 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((((𝐼𝐶) + 1) − 1) ∈ 𝐶 ↔ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶))
2922, 28bitrd 268 1 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (1 ∈ (𝑅𝐶) ↔ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  {crab 2912  cdif 3557  cin 3559  ifcif 4064  𝒫 cpw 4136   class class class wbr 4623  cmpt 4683  cima 5087  cfv 5857  (class class class)co 6615  infcinf 8307  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226   / cdiv 10644  cn 10980  cz 11337  cuz 11647  ...cfz 12284  #chash 13073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-hash 13074
This theorem is referenced by:  ballotlem7  30420
  Copyright terms: Public domain W3C validator