MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnuz 11761
Description: Positive integers expressed as an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
nnuz ℕ = (ℤ‘1)

Proof of Theorem nnuz
StepHypRef Expression
1 nnzrab 11443 . 2 ℕ = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
2 1z 11445 . . 3 1 ∈ ℤ
3 uzval 11727 . . 3 (1 ∈ ℤ → (ℤ‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘})
42, 3ax-mp 5 . 2 (ℤ‘1) = {𝑘 ∈ ℤ ∣ 1 ≤ 𝑘}
51, 4eqtr4i 2676 1 ℕ = (ℤ‘1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945   class class class wbr 4685  cfv 5926  1c1 9975  cle 10113  cn 11058  cz 11415  cuz 11725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-z 11416  df-uz 11726
This theorem is referenced by:  elnnuz  11762  eluz2nn  11764  uznnssnn  11773  nnwo  11791  eluznn  11796  nninf  11807  fzssnn  12423  fseq1p1m1  12452  prednn  12501  elfzo1  12557  ltwenn  12801  nnnfi  12805  ser1const  12897  expp1  12907  digit1  13038  facnn  13102  fac0  13103  facp1  13105  faclbnd4lem1  13120  bcm1k  13142  bcval5  13145  bcpasc  13148  fz1isolem  13283  seqcoll  13286  seqcoll2  13287  climuni  14327  isercolllem2  14440  isercoll  14442  sumeq2ii  14467  summolem3  14489  summolem2a  14490  fsum  14495  sum0  14496  sumz  14497  fsumcl2lem  14506  fsumadd  14514  fsummulc2  14560  fsumrelem  14583  isumnn0nn  14618  climcndslem1  14625  climcndslem2  14626  climcnds  14627  divcnv  14629  divcnvshft  14631  supcvg  14632  trireciplem  14638  trirecip  14639  expcnv  14640  geo2lim  14650  geoisum1  14654  geoisum1c  14655  mertenslem2  14661  prodeq2ii  14687  prodmolem3  14707  prodmolem2a  14708  fprod  14715  prod0  14717  prod1  14718  fprodss  14722  fprodser  14723  fprodcl2lem  14724  fprodmul  14734  fproddiv  14735  fprodn0  14753  fallfacval4  14818  bpoly4  14834  ege2le3  14864  rpnnen2lem3  14989  rpnnen2lem5  14991  rpnnen2lem8  14994  rpnnen2lem12  14998  ruclem6  15008  pwp1fsum  15161  bezoutlem2  15304  bezoutlem3  15305  lcmcllem  15356  lcmledvds  15359  lcmfval  15381  lcmfcllem  15385  lcmfledvds  15392  isprm3  15443  phicl2  15520  phibndlem  15522  eulerthlem2  15534  odzcllem  15544  odzdvds  15547  iserodd  15587  pcmptcl  15642  pcmpt  15643  pockthlem  15656  pockthg  15657  unbenlem  15659  prmreclem3  15669  prmreclem5  15671  prmreclem6  15672  prmrec  15673  1arith  15678  4sqlem13  15708  4sqlem14  15709  4sqlem17  15712  4sqlem18  15713  vdwlem1  15732  vdwlem2  15733  vdwlem3  15734  vdwlem6  15737  vdwlem8  15739  vdwlem10  15741  vdw  15745  vdwnnlem1  15746  vdwnnlem3  15748  prmlem1a  15860  mulgnnp1  17596  mulgnnsubcl  17600  mulgnn0z  17614  mulgnndir  17616  mulgnndirOLD  17617  mulgpropd  17631  odlem1  18000  odlem2  18004  gexlem1  18040  gexlem2  18043  gexcl3  18048  sylow1lem1  18059  efgsdmi  18191  efgsrel  18193  efgs1b  18195  efgsp1  18196  mulgnn0di  18277  lt6abl  18342  gsumval3eu  18351  gsumval3  18354  gsumzcl2  18357  gsumzaddlem  18367  gsumconst  18380  gsumzmhm  18383  gsumzoppg  18390  zringlpirlem2  19881  zringlpirlem3  19882  lmcnp  21156  lmmo  21232  1stcelcls  21312  1stccnp  21313  1stckgenlem  21404  1stckgen  21405  imasdsf1olem  22225  cphipval  23088  lmnn  23107  cmetcaulem  23132  iscmet2  23138  causs  23142  nglmle  23146  caubl  23152  iscmet3i  23156  bcthlem5  23171  ovolsf  23287  ovollb2lem  23302  ovolctb  23304  ovolunlem1a  23310  ovolunlem1  23311  ovoliunlem1  23316  ovoliun  23319  ovoliun2  23320  ovoliunnul  23321  ovolscalem1  23327  ovolicc1  23330  ovolicc2lem2  23332  ovolicc2lem3  23333  ovolicc2lem4  23334  iundisj  23362  iundisj2  23363  voliunlem1  23364  voliunlem2  23365  voliunlem3  23366  volsup  23370  ioombl1lem4  23375  uniioovol  23393  uniioombllem2  23397  uniioombllem3  23399  uniioombllem4  23400  uniioombllem6  23402  vitalilem4  23425  vitalilem5  23426  itg1climres  23526  mbfi1fseqlem6  23532  mbfi1flimlem  23534  mbfmullem2  23536  itg2monolem1  23562  itg2i1fseqle  23566  itg2i1fseq  23567  itg2i1fseq2  23568  itg2addlem  23570  plyeq0lem  24011  vieta1lem2  24111  elqaalem1  24119  elqaalem3  24121  aaliou3lem4  24146  aaliou3lem7  24149  dvtaylp  24169  taylthlem2  24173  pserdvlem2  24227  pserdv2  24229  abelthlem6  24235  abelthlem9  24239  logtayl  24451  logtaylsum  24452  logtayl2  24453  atantayl  24709  leibpilem2  24713  leibpi  24714  birthdaylem2  24724  dfef2  24742  divsqrtsumlem  24751  emcllem2  24768  emcllem4  24770  emcllem5  24771  emcllem6  24772  emcllem7  24773  harmonicbnd4  24782  fsumharmonic  24783  zetacvg  24786  lgamgulmlem4  24803  lgamgulmlem6  24805  lgamgulm2  24807  lgamcvglem  24811  lgamcvg2  24826  gamcvg  24827  gamcvg2lem  24830  regamcl  24832  relgamcl  24833  lgam1  24835  wilthlem3  24841  ftalem2  24845  ftalem4  24847  ftalem5  24848  basellem5  24856  basellem6  24857  basellem7  24858  basellem8  24859  basellem9  24860  ppiprm  24922  ppinprm  24923  chtprm  24924  chtnprm  24925  chpp1  24926  vma1  24937  ppiltx  24948  fsumvma2  24984  chpchtsum  24989  logfacbnd3  24993  logexprlim  24995  bposlem5  25058  lgscllem  25074  lgsval2lem  25077  lgsval4a  25089  lgsneg  25091  lgsdir  25102  lgsdilem2  25103  lgsdi  25104  lgsne0  25105  gausslemma2dlem3  25138  lgsquadlem2  25151  chebbnd1lem1  25203  chtppilimlem1  25207  rplogsumlem1  25218  rplogsumlem2  25219  rpvmasumlem  25221  dchrisumlema  25222  dchrisumlem2  25224  dchrisumlem3  25225  dchrmusum2  25228  dchrvmasum2lem  25230  dchrvmasumiflem1  25235  dchrvmaeq0  25238  dchrisum0flblem2  25243  dchrisum0flb  25244  dchrisum0re  25247  dchrisum0lem1b  25249  dchrisum0lem1  25250  dchrisum0lem2a  25251  dchrisum0lem2  25252  dchrisum0lem3  25253  mudivsum  25264  mulogsum  25266  logdivsum  25267  mulog2sumlem2  25269  log2sumbnd  25278  selberg2lem  25284  logdivbnd  25290  pntrsumo1  25299  pntrsumbnd2  25301  pntrlog2bndlem2  25312  pntrlog2bndlem4  25314  pntrlog2bndlem6a  25316  pntlemf  25339  eedimeq  25823  axlowdimlem6  25872  axlowdimlem16  25882  axlowdimlem17  25883  ipval2  27690  minvecolem3  27860  minvecolem4b  27862  minvecolem4  27864  h2hcau  27964  h2hlm  27965  hlimadd  28178  hlim0  28220  hhsscms  28264  occllem  28290  nlelchi  29048  opsqrlem4  29130  hmopidmchi  29138  iundisjf  29528  iundisj2f  29529  ssnnssfz  29677  iundisjfi  29683  iundisj2fi  29684  1smat1  29998  submat1n  29999  submatres  30000  submateqlem2  30002  lmatfval  30008  madjusmdetlem1  30021  madjusmdetlem2  30022  madjusmdetlem3  30023  madjusmdetlem4  30024  lmlim  30121  rge0scvg  30123  lmxrge0  30126  lmdvg  30127  esumfzf  30259  esumfsup  30260  esumpcvgval  30268  esumpmono  30269  esumcvg  30276  esumcvgsum  30278  esumsup  30279  fiunelros  30365  eulerpartlemsv2  30548  eulerpartlems  30550  eulerpartlemsv3  30551  eulerpartlemv  30554  eulerpartlemb  30558  fiblem  30588  fibp1  30591  rrvsum  30644  dstfrvclim1  30667  ballotlem1ri  30724  signsvfn  30787  chtvalz  30835  circlemethhgt  30849  subfacp1lem1  31287  subfacp1lem5  31292  subfacp1lem6  31293  erdszelem7  31305  cvmliftlem5  31397  cvmliftlem7  31399  cvmliftlem10  31402  cvmliftlem13  31404  sinccvg  31693  circum  31694  divcnvlin  31744  iprodgam  31754  faclimlem1  31755  faclimlem2  31756  faclim  31758  iprodfac  31759  faclim2  31760  poimirlem3  33542  poimirlem4  33543  poimirlem6  33545  poimirlem7  33546  poimirlem8  33547  poimirlem12  33551  poimirlem15  33554  poimirlem16  33555  poimirlem17  33556  poimirlem18  33557  poimirlem19  33558  poimirlem20  33559  poimirlem22  33561  poimirlem23  33562  poimirlem24  33563  poimirlem25  33564  poimirlem27  33566  poimirlem28  33567  poimirlem29  33568  poimirlem30  33569  poimirlem31  33570  mblfinlem2  33577  ovoliunnfl  33581  voliunnfl  33583  volsupnfl  33584  lmclim2  33684  geomcau  33685  heibor1lem  33738  heibor1  33739  bfplem1  33751  bfplem2  33752  rrncmslem  33761  rrncms  33762  eldioph3b  37645  diophin  37653  diophun  37654  diophren  37694  jm3.1lem2  37902  dgraalem  38032  dgraaub  38035  dftrcl3  38329  trclfvdecomr  38337  hashnzfz2  38837  hashnzfzclim  38838  dvradcnv2  38863  binomcxplemnotnn0  38872  nnsplit  39887  clim1fr1  40151  sumnnodd  40180  limsup10exlem  40322  fprodsubrecnncnvlem  40439  fprodaddrecnncnvlem  40441  stoweidlem7  40542  stoweidlem14  40549  stoweidlem20  40555  stoweidlem34  40569  wallispilem5  40604  wallispi  40605  stirlinglem1  40609  stirlinglem5  40613  stirlinglem7  40615  stirlinglem8  40616  stirlinglem10  40618  stirlinglem11  40619  stirlinglem12  40620  stirlinglem13  40621  stirlinglem14  40622  stirlinglem15  40623  stirlingr  40625  dirkertrigeqlem2  40634  dirkertrigeqlem3  40635  fourierdlem11  40653  fourierdlem31  40673  fourierdlem48  40689  fourierdlem49  40690  fourierdlem69  40710  fourierdlem73  40714  fourierdlem81  40722  fourierdlem93  40734  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745  fourierdlem112  40753  fouriersw  40766  sge0ad2en  40966  voliunsge0lem  41007  caragenunicl  41059  caratheodorylem2  41062  hoidmvlelem3  41132  ovolval2lem  41178  ovolval2  41179  vonioolem2  41216  vonicclem2  41219  fmtno4prmfac  41809
  Copyright terms: Public domain W3C validator