Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgbtwnconnln1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgbtwnconnln1 25469
 Description: Derive colinearity from betweenness. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgbtwnconn.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwnconn.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwnconn.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwnconn.a (𝜑𝐴𝑃)
tgbtwnconn.b (𝜑𝐵𝑃)
tgbtwnconn.c (𝜑𝐶𝑃)
tgbtwnconn.d (𝜑𝐷𝑃)
tgbtwnconnln1.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tgbtwnconnln1.1 (𝜑𝐴𝐵)
tgbtwnconnln1.2 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgbtwnconnln1.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
Assertion
Ref Expression
tgbtwnconnln1 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))

Proof of Theorem tgbtwnconnln1
StepHypRef Expression
1 tgbtwnconn.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 tgbtwnconnln1.l . . 3 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3 tgbtwnconn.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tgbtwnconn.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
54adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6 tgbtwnconn.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑃)
76adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶𝑃)
8 tgbtwnconn.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑃)
98adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐷𝑃)
10 tgbtwnconn.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
1110adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐴𝑃)
12 simpr 477 . . 3 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → 𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
131, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 12btwncolg2 25445 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
144adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
156adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐶𝑃)
168adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷𝑃)
1710adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐴𝑃)
18 eqid 2621 . . . 4 (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
19 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
201, 18, 3, 14, 17, 16, 15, 19tgbtwncom 25377 . . 3 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝐴))
211, 2, 3, 14, 15, 16, 17, 20btwncolg3 25446 . 2 ((𝜑𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)) → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
22 tgbtwnconn.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
23 tgbtwnconnln1.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
24 tgbtwnconnln1.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
25 tgbtwnconnln1.3 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐷))
261, 3, 4, 10, 22, 6, 8, 23, 24, 25tgbtwnconn1 25464 . 2 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴𝐼𝐷) ∨ 𝐷 ∈ (𝐴𝐼𝐶)))
2713, 21, 26mpjaodan 827 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐶𝐿𝐷) ∨ 𝐶 = 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989   ≠ wne 2793  ‘cfv 5886  (class class class)co 6647  Basecbs 15851  distcds 15944  TarskiGcstrkg 25323  Itvcitv 25329  LineGclng 25330 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-pm 7857  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-card 8762  df-cda 8987  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-xnn0 11361  df-z 11375  df-uz 11685  df-fz 12324  df-fzo 12462  df-hash 13113  df-word 13294  df-concat 13296  df-s1 13297  df-s2 13587  df-s3 13588  df-trkgc 25341  df-trkgb 25342  df-trkgcb 25343  df-trkg 25346  df-cgrg 25400 This theorem is referenced by:  tglineeltr  25520
 Copyright terms: Public domain W3C validator