Theorem chsh 29001

Description: A closed subspace is a subspace. (Contributed by NM, 19-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
chsh	⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Proof of Theorem chsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isch 28999	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ ↔ (𝐻 ∈ Sℋ ∧ ( ⇝𝑣 “ (𝐻 ↑m ℕ)) ⊆ 𝐻))
2	1	simplbi 500	1 ⊢ (𝐻 ∈ Cℋ → 𝐻 ∈ Sℋ )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936   “ cima 5558  (class class class)co 7156   ↑_m cmap 8406  ℕcn 11638   ⇝_𝑣 chli 28704   S_ℋ csh 28705   C_ℋ cch 28706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-xp 5561  df-cnv 5563  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fv 6363  df-ov 7159  df-ch 28998

This theorem is referenced by:  chsssh  29002  chshii  29004  ch0  29005  chss  29006  choccl  29083  chjval  29129  chjcl  29134  pjhth  29170  pjhtheu  29171  pjpreeq  29175  pjpjpre  29196  ch0le  29218  chle0  29220  chslej  29275  chjcom  29283  chub1  29284  chlub  29286  chlej1  29287  chlej2  29288  spansnsh  29338  fh1  29395  fh2  29396  chscllem1  29414  chscllem2  29415  chscllem3  29416  chscllem4  29417  chscl  29418  pjorthi  29446  pjoi0  29494  hstoc  29999  hstnmoc  30000  ch1dle  30129  atomli  30159  chirredlem3  30169  sumdmdii  30192