HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  sumdmdii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumdmdii 28452
Description: If the subspace sum of two Hilbert lattice elements is closed, then the elements are a dual modular pair. Remark in [MaedaMaeda] p. 139. (Contributed by NM, 12-Jul-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1 𝐴C
sumdmdi.2 𝐵C
Assertion
Ref Expression
sumdmdii ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) → 𝐴 𝑀* 𝐵)

Proof of Theorem sumdmdii
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ineq2 3770 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) → (𝑥 ∩ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))
21adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) ∧ (𝑥C𝐵𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 + 𝐵)) = (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)))
3 elin 3758 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴 + 𝐵)) ↔ (𝑦𝑥𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)))
4 sumdmdi.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴C
5 sumdmdi.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐵C
64, 5chseli 27496 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤))
7 ssel2 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵𝑥𝑤𝐵) → 𝑤𝑥)
8 chsh 27259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥C𝑥S )
9 shsubcl 27255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥S𝑦𝑥𝑤𝑥) → (𝑦 𝑤) ∈ 𝑥)
1093exp 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥S → (𝑦𝑥 → (𝑤𝑥 → (𝑦 𝑤) ∈ 𝑥)))
118, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥C → (𝑦𝑥 → (𝑤𝑥 → (𝑦 𝑤) ∈ 𝑥)))
127, 11syl7 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥C → (𝑦𝑥 → ((𝐵𝑥𝑤𝐵) → (𝑦 𝑤) ∈ 𝑥)))
1312exp4a 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥C → (𝑦𝑥 → (𝐵𝑥 → (𝑤𝐵 → (𝑦 𝑤) ∈ 𝑥))))
1413com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥C → (𝐵𝑥 → (𝑦𝑥 → (𝑤𝐵 → (𝑦 𝑤) ∈ 𝑥))))
1514imp41 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑦 𝑤) ∈ 𝑥)
1615adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑦 𝑤) ∈ 𝑥)
1716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑦 𝑤) ∈ 𝑥)
18 chel 27265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥C𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℋ)
1918adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ ℋ)
204cheli 27267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧𝐴𝑧 ∈ ℋ)
215cheli 27267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤𝐵𝑤 ∈ ℋ)
22 hvsubadd 27112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 𝑤) = 𝑧 ↔ (𝑤 + 𝑧) = 𝑦))
23 ax-hvcom 27036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑤 + 𝑧) = (𝑧 + 𝑤))
2423eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑤 + 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 + 𝑤) = 𝑦))
25 eqcom 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 + 𝑤) = 𝑦𝑦 = (𝑧 + 𝑤))
2624, 25syl6bb 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑤 + 𝑧) = 𝑦𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
27263adant1 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑤 + 𝑧) = 𝑦𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
2822, 27bitrd 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 𝑤) = 𝑧𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
29283com23 1263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑤 ∈ ℋ) → ((𝑦 𝑤) = 𝑧𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
3019, 20, 21, 29syl3an 1360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴𝑤𝐵) → ((𝑦 𝑤) = 𝑧𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
31303expa 1257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → ((𝑦 𝑤) = 𝑧𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
32 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 𝑤) = 𝑧 → ((𝑦 𝑤) ∈ 𝑥𝑧𝑥))
3331, 32syl6bir 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → ((𝑦 𝑤) ∈ 𝑥𝑧𝑥)))
3433imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → ((𝑦 𝑤) ∈ 𝑥𝑧𝑥))
3517, 34mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑧𝑥)
36 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → 𝑦 = (𝑧 + 𝑤))
3735, 36jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) ∧ 𝑤𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) → (𝑧𝑥𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
3837exp31 628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑤𝐵 → (𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → (𝑧𝑥𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))))
3938reximdvai 2998 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → (∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → ∃𝑤𝐵 (𝑧𝑥𝑦 = (𝑧 + 𝑤))))
40 r19.42v 3073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑤𝐵 (𝑧𝑥𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) ↔ (𝑧𝑥 ∧ ∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
4139, 40syl6ib 240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → (∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → (𝑧𝑥 ∧ ∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤))))
4241reximdva 3000 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → (∃𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥 ∧ ∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤))))
43 elin 3758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (𝑥𝐴) ↔ (𝑧𝑥𝑧𝐴))
44 ancom 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧𝑥𝑧𝐴) ↔ (𝑧𝐴𝑧𝑥))
4543, 44bitri 263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝑥𝐴) ↔ (𝑧𝐴𝑧𝑥))
4645anbi1i 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ (𝑥𝐴) ∧ ∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) ↔ ((𝑧𝐴𝑧𝑥) ∧ ∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
47 anass 679 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧𝐴𝑧𝑥) ∧ ∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝑥 ∧ ∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤))))
4846, 47bitri 263 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ (𝑥𝐴) ∧ ∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)) ↔ (𝑧𝐴 ∧ (𝑧𝑥 ∧ ∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤))))
4948rexbii2 3021 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑧 ∈ (𝑥𝐴)∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤) ↔ ∃𝑧𝐴 (𝑧𝑥 ∧ ∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
5042, 49syl6ibr 241 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → (∃𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → ∃𝑧 ∈ (𝑥𝐴)∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
514chshii 27262 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴S
52 shincl 27418 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥S𝐴S ) → (𝑥𝐴) ∈ S )
538, 51, 52sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥C → (𝑥𝐴) ∈ S )
5453ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑥𝐴) ∈ S )
555chshii 27262 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵S
56 shsel 27351 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝐴) ∈ S𝐵S ) → (𝑦 ∈ ((𝑥𝐴) + 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑥𝐴)∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
5754, 55, 56sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑦 ∈ ((𝑥𝐴) + 𝐵) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝑥𝐴)∃𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤)))
5850, 57sylibrd 248 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → (∃𝑧𝐴𝑤𝐵 𝑦 = (𝑧 + 𝑤) → 𝑦 ∈ ((𝑥𝐴) + 𝐵)))
596, 58syl5bi 231 . . . . . . . . . 10 (((𝑥C𝐵𝑥) ∧ 𝑦𝑥) → (𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵) → 𝑦 ∈ ((𝑥𝐴) + 𝐵)))
6059expimpd 627 . . . . . . . . 9 ((𝑥C𝐵𝑥) → ((𝑦𝑥𝑦 ∈ (𝐴 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ ((𝑥𝐴) + 𝐵)))
613, 60syl5bi 231 . . . . . . . 8 ((𝑥C𝐵𝑥) → (𝑦 ∈ (𝑥 ∩ (𝐴 + 𝐵)) → 𝑦 ∈ ((𝑥𝐴) + 𝐵)))
6261ssrdv 3574 . . . . . . 7 ((𝑥C𝐵𝑥) → (𝑥 ∩ (𝐴 + 𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐴) + 𝐵))
6362adantl 481 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) ∧ (𝑥C𝐵𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 + 𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐴) + 𝐵))
642, 63eqsstr3d 3603 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) ∧ (𝑥C𝐵𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐴) + 𝐵))
65 chincl 27536 . . . . . . . 8 ((𝑥C𝐴C ) → (𝑥𝐴) ∈ C )
664, 65mpan2 703 . . . . . . 7 (𝑥C → (𝑥𝐴) ∈ C )
67 chslej 27535 . . . . . . 7 (((𝑥𝐴) ∈ C𝐵C ) → ((𝑥𝐴) + 𝐵) ⊆ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
6866, 5, 67sylancl 693 . . . . . 6 (𝑥C → ((𝑥𝐴) + 𝐵) ⊆ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
6968ad2antrl 760 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) ∧ (𝑥C𝐵𝑥)) → ((𝑥𝐴) + 𝐵) ⊆ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
7064, 69sstrd 3578 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) ∧ (𝑥C𝐵𝑥)) → (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))
7170exp32 629 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) → (𝑥C → (𝐵𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))))
7271ralrimiv 2948 . 2 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) → ∀𝑥C (𝐵𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵)))
73 dmdbr2 28340 . . 3 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝐵𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵))))
744, 5, 73mp2an 704 . 2 (𝐴 𝑀* 𝐵 ↔ ∀𝑥C (𝐵𝑥 → (𝑥 ∩ (𝐴 𝐵)) ⊆ ((𝑥𝐴) ∨ 𝐵)))
7572, 74sylibr 223 1 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐴 𝐵) → 𝐴 𝑀* 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  wrex 2897  cin 3539  wss 3540   class class class wbr 4578  (class class class)co 6527  chil 26954   + cva 26955   cmv 26960   S csh 26963   C cch 26964   + cph 26966   chj 26968   𝑀* cdmd 27002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cc 9118  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873  ax-hilex 27034  ax-hfvadd 27035  ax-hvcom 27036  ax-hvass 27037  ax-hv0cl 27038  ax-hvaddid 27039  ax-hfvmul 27040  ax-hvmulid 27041  ax-hvmulass 27042  ax-hvdistr1 27043  ax-hvdistr2 27044  ax-hvmul0 27045  ax-hfi 27114  ax-his1 27117  ax-his2 27118  ax-his3 27119  ax-his4 27120  ax-hcompl 27237
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-supp 7161  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-omul 7430  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-ixp 7773  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fsupp 8137  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-acn 8629  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-7 10934  df-8 10935  df-9 10936  df-n0 11143  df-z 11214  df-dec 11329  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ioo 12009  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-sum 14214  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-ress 15651  df-plusg 15730  df-mulr 15731  df-starv 15732  df-sca 15733  df-vsca 15734  df-ip 15735  df-tset 15736  df-ple 15737  df-ds 15740  df-unif 15741  df-hom 15742  df-cco 15743  df-rest 15855  df-topn 15856  df-0g 15874  df-gsum 15875  df-topgen 15876  df-pt 15877  df-prds 15880  df-xrs 15934  df-qtop 15939  df-imas 15940  df-xps 15942  df-mre 16018  df-mrc 16019  df-acs 16021  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-submnd 17108  df-mulg 17313  df-cntz 17522  df-cmn 17967  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-cnfld 19517  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-topsp 20472  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-cn 20789  df-cnp 20790  df-lm 20791  df-haus 20877  df-tx 21123  df-hmeo 21316  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-xms 21883  df-ms 21884  df-tms 21885  df-cfil 22806  df-cau 22807  df-cmet 22808  df-grpo 26525  df-gid 26526  df-ginv 26527  df-gdiv 26528  df-ablo 26577  df-vc 26592  df-nv 26625  df-va 26628  df-ba 26629  df-sm 26630  df-0v 26631  df-vs 26632  df-nmcv 26633  df-ims 26634  df-dip 26734  df-ssp 26755  df-ph 26846  df-cbn 26897  df-hnorm 27003  df-hba 27004  df-hvsub 27006  df-hlim 27007  df-hcau 27008  df-sh 27242  df-ch 27256  df-oc 27287  df-ch0 27288  df-shs 27345  df-chj 27347  df-dmd 28318
This theorem is referenced by:  cmmdi  28453  sumdmdi  28457
  Copyright terms: Public domain W3C validator