HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjhth 27470
Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector 𝐴 can be decomposed uniquely into a member 𝑥 of a closed subspace 𝐻 and a member 𝑦 of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (existence part). (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjhth (𝐻C → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) = ℋ)

Proof of Theorem pjhth
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chsh 27299 . . 3 (𝐻C𝐻S )
2 shocsh 27361 . . . 4 (𝐻S → (⊥‘𝐻) ∈ S )
31, 2syl 17 . . 3 (𝐻C → (⊥‘𝐻) ∈ S )
4 shsss 27390 . . 3 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ) → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
51, 3, 4syl2anc 690 . 2 (𝐻C → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ⊆ ℋ)
6 fveq2 6088 . . . . . . . 8 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → (⊥‘𝐻) = (⊥‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ)))
76rexeqdv 3121 . . . . . . 7 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → (∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
87rexeqbi1dv 3123 . . . . . 6 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → (∃𝑦𝐻𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ if (𝐻C , 𝐻, ℋ)∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
98imbi2d 328 . . . . 5 (𝐻 = if(𝐻C , 𝐻, ℋ) → ((𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦𝐻𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧)) ↔ (𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦 ∈ if (𝐻C , 𝐻, ℋ)∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 + 𝑧))))
10 ifchhv 27319 . . . . . 6 if(𝐻C , 𝐻, ℋ) ∈ C
11 id 22 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ ℋ)
1210, 11pjhthlem2 27469 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦 ∈ if (𝐻C , 𝐻, ℋ)∃𝑧 ∈ (⊥‘if(𝐻C , 𝐻, ℋ))𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
139, 12dedth 4088 . . . 4 (𝐻C → (𝑥 ∈ ℋ → ∃𝑦𝐻𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
14 shsel 27391 . . . . 5 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ) → (𝑥 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦𝐻𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
151, 3, 14syl2anc 690 . . . 4 (𝐻C → (𝑥 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑦𝐻𝑧 ∈ (⊥‘𝐻)𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
1613, 15sylibrd 247 . . 3 (𝐻C → (𝑥 ∈ ℋ → 𝑥 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻))))
1716ssrdv 3573 . 2 (𝐻C → ℋ ⊆ (𝐻 + (⊥‘𝐻)))
185, 17eqssd 3584 1 (𝐻C → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) = ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896  wss 3539  ifcif 4035  cfv 5790  (class class class)co 6527  chil 26994   + cva 26995   S csh 27003   C cch 27004  cort 27005   + cph 27006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cc 9118  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872  ax-mulf 9873  ax-hilex 27074  ax-hfvadd 27075  ax-hvcom 27076  ax-hvass 27077  ax-hv0cl 27078  ax-hvaddid 27079  ax-hfvmul 27080  ax-hvmulid 27081  ax-hvmulass 27082  ax-hvdistr1 27083  ax-hvdistr2 27084  ax-hvmul0 27085  ax-hfi 27154  ax-his1 27157  ax-his2 27158  ax-his3 27159  ax-his4 27160  ax-hcompl 27277
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-omul 7430  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-fi 8178  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-acn 8629  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xneg 11781  df-xadd 11782  df-xmul 11783  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-rlim 14017  df-rest 15855  df-topgen 15876  df-psmet 19508  df-xmet 19509  df-met 19510  df-bl 19511  df-mopn 19512  df-fbas 19513  df-fg 19514  df-top 20469  df-bases 20470  df-topon 20471  df-cld 20581  df-ntr 20582  df-cls 20583  df-nei 20660  df-lm 20791  df-haus 20877  df-fil 21408  df-fm 21500  df-flim 21501  df-flf 21502  df-cfil 22806  df-cau 22807  df-cmet 22808  df-grpo 26525  df-gid 26526  df-ginv 26527  df-gdiv 26528  df-ablo 26580  df-vc 26595  df-nv 26643  df-va 26646  df-ba 26647  df-sm 26648  df-0v 26649  df-vs 26650  df-nmcv 26651  df-ims 26652  df-ssp 26793  df-ph 26886  df-cbn 26937  df-hnorm 27043  df-hba 27044  df-hvsub 27046  df-hlim 27047  df-hcau 27048  df-sh 27282  df-ch 27296  df-oc 27327  df-ch0 27328  df-shs 27385
This theorem is referenced by:  pjhtheu  27471  pjeq  27476  axpjpj  27497
  Copyright terms: Public domain W3C validator