HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjhtheu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjhtheu 27430
Description: Projection Theorem: Any Hilbert space vector 𝐴 can be decomposed uniquely into a member 𝑥 of a closed subspace 𝐻 and a member 𝑦 of the complement of the subspace. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102. See pjhtheu2 27452 for the uniqueness of 𝑦. (Contributed by NM, 23-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pjhtheu ((𝐻C𝐴 ∈ ℋ) → ∃!𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐻,𝑦

Proof of Theorem pjhtheu
StepHypRef Expression
1 pjhth 27429 . . . . 5 (𝐻C → (𝐻 + (⊥‘𝐻)) = ℋ)
21eleq2d 2672 . . . 4 (𝐻C → (𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ 𝐴 ∈ ℋ))
3 chsh 27258 . . . . 5 (𝐻C𝐻S )
4 shocsh 27320 . . . . . 6 (𝐻S → (⊥‘𝐻) ∈ S )
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝐻C → (⊥‘𝐻) ∈ S )
6 shsel 27350 . . . . 5 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ) → (𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
73, 5, 6syl2anc 690 . . . 4 (𝐻C → (𝐴 ∈ (𝐻 + (⊥‘𝐻)) ↔ ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
82, 7bitr3d 268 . . 3 (𝐻C → (𝐴 ∈ ℋ ↔ ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
98biimpa 499 . 2 ((𝐻C𝐴 ∈ ℋ) → ∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
10 ocin 27332 . . . . 5 (𝐻S → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
113, 10syl 17 . . . 4 (𝐻C → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
12 pjhthmo 27338 . . . 4 ((𝐻S ∧ (⊥‘𝐻) ∈ S ∧ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0) → ∃*𝑥(𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
133, 5, 11, 12syl3anc 1317 . . 3 (𝐻C → ∃*𝑥(𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
1413adantr 479 . 2 ((𝐻C𝐴 ∈ ℋ) → ∃*𝑥(𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
15 reu5 3135 . . 3 (∃!𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ↔ (∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃*𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
16 df-rmo 2903 . . . 4 (∃*𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ↔ ∃*𝑥(𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)))
1716anbi2i 725 . . 3 ((∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃*𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦)) ↔ (∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃*𝑥(𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))))
1815, 17bitri 262 . 2 (∃!𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ↔ (∃𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦) ∧ ∃*𝑥(𝑥𝐻 ∧ ∃𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))))
199, 14, 18sylanbrc 694 1 ((𝐻C𝐴 ∈ ℋ) → ∃!𝑥𝐻𝑦 ∈ (⊥‘𝐻)𝐴 = (𝑥 + 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  ∃*wmo 2458  wrex 2896  ∃!wreu 2897  ∃*wrmo 2898  cin 3538  cfv 5789  (class class class)co 6526  chil 26953   + cva 26954   S csh 26962   C cch 26963  cort 26964   + cph 26965  0c0h 26969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cc 9117  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872  ax-hilex 27033  ax-hfvadd 27034  ax-hvcom 27035  ax-hvass 27036  ax-hv0cl 27037  ax-hvaddid 27038  ax-hfvmul 27039  ax-hvmulid 27040  ax-hvmulass 27041  ax-hvdistr1 27042  ax-hvdistr2 27043  ax-hvmul0 27044  ax-hfi 27113  ax-his1 27116  ax-his2 27117  ax-his3 27118  ax-his4 27119  ax-hcompl 27236
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-acn 8628  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-q 11623  df-rp 11667  df-xneg 11780  df-xadd 11781  df-xmul 11782  df-ico 12010  df-icc 12011  df-fz 12155  df-fl 12412  df-seq 12621  df-exp 12680  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-clim 14015  df-rlim 14016  df-rest 15854  df-topgen 15875  df-psmet 19507  df-xmet 19508  df-met 19509  df-bl 19510  df-mopn 19511  df-fbas 19512  df-fg 19513  df-top 20468  df-bases 20469  df-topon 20470  df-cld 20580  df-ntr 20581  df-cls 20582  df-nei 20659  df-lm 20790  df-haus 20876  df-fil 21407  df-fm 21499  df-flim 21500  df-flf 21501  df-cfil 22805  df-cau 22806  df-cmet 22807  df-grpo 26524  df-gid 26525  df-ginv 26526  df-gdiv 26527  df-ablo 26576  df-vc 26591  df-nv 26624  df-va 26627  df-ba 26628  df-sm 26629  df-0v 26630  df-vs 26631  df-nmcv 26632  df-ims 26633  df-ssp 26754  df-ph 26845  df-cbn 26896  df-hnorm 27002  df-hba 27003  df-hvsub 27005  df-hlim 27006  df-hcau 27007  df-sh 27241  df-ch 27255  df-oc 27286  df-ch0 27287  df-shs 27344
This theorem is referenced by:  pjhtheu2  27452
  Copyright terms: Public domain W3C validator