Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  climge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem climge0 14309
 Description: A nonnegative sequence converges to a nonnegative number. (Contributed by NM, 11-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
climshft2.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
climshft2.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
climrecl.3 (𝜑𝐹𝐴)
climrecl.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
climge0.5 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
climge0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝐴,𝑘

Proof of Theorem climge0
StepHypRef Expression
1 climshft2.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 climshft2.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
32uzsup 12657 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
41, 3syl 17 . 2 (𝜑 → sup(𝑍, ℝ*, < ) = +∞)
5 climrecl.3 . . . 4 (𝜑𝐹𝐴)
6 climrel 14217 . . . . . . 7 Rel ⇝
76brrelexi 5156 . . . . . 6 (𝐹𝐴𝐹 ∈ V)
85, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ V)
9 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) = (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘))
102, 9climmpt 14296 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∈ V) → (𝐹𝐴 ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ 𝐴))
111, 8, 10syl2anc 693 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴 ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ 𝐴))
125, 11mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ 𝐴)
13 climrecl.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
1413recnd 10065 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1514, 9fmptd 6383 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)):𝑍⟶ℂ)
162, 1, 15rlimclim 14271 . . 3 (𝜑 → ((𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 𝐴 ↔ (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝ 𝐴))
1712, 16mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝑘𝑍 ↦ (𝐹𝑘)) ⇝𝑟 𝐴)
18 climge0.5 . 2 ((𝜑𝑘𝑍) → 0 ≤ (𝐹𝑘))
194, 17, 13, 18rlimge0 14306 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1482   ∈ wcel 1989  Vcvv 3198   class class class wbr 4651   ↦ cmpt 4727  ‘cfv 5886  supcsup 8343  ℂcc 9931  ℝcr 9932  0cc0 9933  +∞cpnf 10068  ℝ*cxr 10070   < clt 10071   ≤ cle 10072  ℤcz 11374  ℤ≥cuz 11684   ⇝ cli 14209   ⇝𝑟 crli 14210 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-pm 7857  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-sup 8345  df-inf 8346  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-rp 11830  df-fl 12588  df-seq 12797  df-exp 12856  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-clim 14213  df-rlim 14214 This theorem is referenced by:  climle  14364  radcnvrat  38339
 Copyright terms: Public domain W3C validator