MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divalg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divalg 14910
Description: The division algorithm (theorem). Dividing an integer 𝑁 by a nonzero integer 𝐷 produces a (unique) quotient 𝑞 and a unique remainder 0 ≤ 𝑟 < (abs‘𝐷). Theorem 1.14 in [ApostolNT] p. 19. The proof does not use /, or mod. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divalg ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑞,𝑟   𝑁,𝑞,𝑟

Proof of Theorem divalg
StepHypRef Expression
1 eqeq1 2613 . . . . . 6 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → (𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
213anbi3d 1396 . . . . 5 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
32rexbidv 3033 . . . 4 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
43reubidv 3102 . . 3 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟))))
5 fveq2 6088 . . . . . . 7 (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (abs‘𝐷) = (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)))
65breq2d 4589 . . . . . 6 (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (𝑟 < (abs‘𝐷) ↔ 𝑟 < (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1))))
7 oveq2 6535 . . . . . . . 8 (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (𝑞 · 𝐷) = (𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)))
87oveq1d 6542 . . . . . . 7 (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟))
98eqeq2d 2619 . . . . . 6 (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟) ↔ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟)))
106, 93anbi23d 1393 . . . . 5 (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → ((0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟))))
1110rexbidv 3033 . . . 4 (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟))))
1211reubidv 3102 . . 3 (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)) ↔ ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟))))
13 1z 11240 . . . . 5 1 ∈ ℤ
1413elimel 4099 . . . 4 if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ∈ ℤ
15 simpl 471 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → 𝐷 ∈ ℤ)
16 eleq1 2675 . . . . 5 (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (𝐷 ∈ ℤ ↔ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ∈ ℤ))
17 eleq1 2675 . . . . 5 (1 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (1 ∈ ℤ ↔ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ∈ ℤ))
1815, 16, 17, 13elimdhyp 4100 . . . 4 if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ∈ ℤ
19 simpr 475 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → 𝐷 ≠ 0)
20 neeq1 2843 . . . . 5 (𝐷 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (𝐷 ≠ 0 ↔ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ≠ 0))
21 neeq1 2843 . . . . 5 (1 = if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) → (1 ≠ 0 ↔ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ≠ 0))
22 ax-1ne0 9861 . . . . 5 1 ≠ 0
2319, 20, 21, 22elimdhyp 4100 . . . 4 if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ≠ 0
24 eqid 2609 . . . 4 {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ∥ (if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) − 𝑟)} = {𝑟 ∈ ℕ0 ∣ if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1) ∥ (if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) − 𝑟)}
2514, 18, 23, 24divalglem10 14909 . . 3 ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) ∧ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) = ((𝑞 · if((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0), 𝐷, 1)) + 𝑟))
264, 12, 25dedth2h 4089 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
27263impb 1251 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ≠ 0) → ∃!𝑟 ∈ ℤ ∃𝑞 ∈ ℤ (0 ≤ 𝑟𝑟 < (abs‘𝐷) ∧ 𝑁 = ((𝑞 · 𝐷) + 𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896  ∃!wreu 2897  {crab 2899  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  0cn0 11139  cz 11210  abscabs 13768  cdvds 14767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-dvds 14768
This theorem is referenced by:  divalg2  14912
  Copyright terms: Public domain W3C validator