Theorem divmul 10537

Description: Relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
divmul	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐵) = 𝐴))

Proof of Theorem divmul

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divval 10536	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴))
2	1	3expb 1257	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴))
3	2	3adant2 1072	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐶) = (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴))
4	3	eqeq1d 2611	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) = 𝐵 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
5		simp2 1054	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
6		receu 10521	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴)
7	6	3expb 1257	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴)
8	7	3adant2 1072	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴)
9		oveq2 6535	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝐵))
10	9	eqeq1d 2611	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐶 · 𝑥) = 𝐴 ↔ (𝐶 · 𝐵) = 𝐴))
11	10	riota2 6511	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ ∃!𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) → ((𝐶 · 𝐵) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
12	5, 8, 11	syl2anc 690	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝐵) = 𝐴 ↔ (℩𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 𝐴) = 𝐵))
13	4, 12	bitr4d 269	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) = 𝐵 ↔ (𝐶 · 𝐵) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   ∧ wa 382   ∧ w3a 1030   = wceq 1474   ∈ wcel 1976   ≠ wne 2779  ∃!wreu 2897  ℩crio 6488  (class class class)co 6527  ℂcc 9790  0cc0 9792   · cmul 9797   / cdiv 10533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534

This theorem is referenced by:  divmul2  10538  divcan2  10542  divrec  10550  divcan3  10560  div0  10564  div1  10565  recrec  10571  rec11  10572  divdivdiv  10575  ddcan  10588  rereccl  10592  div2neg  10597  divmulzi  10625  divmuld  10672  crreczi  12806  odd2np1  14849  sqgcd  15062  oddprmdvds  15391  lighneallem4b  39862