Theorem dp2ltsuc 30562

Description: Comparing a decimal fraction with the next integer. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
dp2lt.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
dp2lt.b	⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
dp2ltsuc.1	⊢ 𝐵 < ;10
dp2ltsuc.2	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
dp2ltsuc	⊢ _𝐴𝐵 < 𝐶

Proof of Theorem dp2ltsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dp2ltsuc.1	. . . . 5 ⊢ 𝐵 < ;10
2		dp2lt.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ+
3		rpre 12398	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5		10re 12118	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℝ
6		10pos 12116	. . . . . 6 ⊢ 0 < ;10
7	4, 5, 5, 6	ltdiv1ii 11569	. . . . 5 ⊢ (𝐵 < ;10 ↔ (𝐵 / ;10) < (;10 / ;10))
8	1, 7	mpbi 232	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) < (;10 / ;10)
9	5	recni 10655	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℂ
10		10nn 12115	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ
11	10	nnne0i 11678	. . . . 5 ⊢ ;10 ≠ 0
12	9, 11	dividi 11373	. . . 4 ⊢ (;10 / ;10) = 1
13	8, 12	breqtri 5091	. . 3 ⊢ (𝐵 / ;10) < 1
14	4, 5, 11	redivcli 11407	. . . 4 ⊢ (𝐵 / ;10) ∈ ℝ
15		1re 10641	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
16		dp2lt.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
17	16	nn0rei 11909	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
18	14, 15, 17	ltadd2i 10771	. . 3 ⊢ ((𝐵 / ;10) < 1 ↔ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1))
19	13, 18	mpbi 232	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐵 / ;10)) < (𝐴 + 1)
20		df-dp2 30548	. 2 ⊢ _𝐴𝐵 = (𝐴 + (𝐵 / ;10))
21		dp2ltsuc.2	. . 3 ⊢ (𝐴 + 1) = 𝐶
22	21	eqcomi 2830	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐴 + 1)
23	19, 20, 22	3brtr4i 5096	1 ⊢ _𝐴𝐵 < 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   < clt 10675   / cdiv 11297  ℕ₀cn0 11898  ;cdc 12099  ℝ⁺crp 12390  _cdp2 30547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-dec 12100  df-rp 12391  df-dp2 30548

This theorem is referenced by:  hgt750lem2  31923