MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  10nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 10nn 11474
Description: 10 is a positive integer. (Contributed by NM, 8-Nov-2012.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
10nn 10 ∈ ℕ

Proof of Theorem 10nn
StepHypRef Expression
1 9p1e10 11456 . 2 (9 + 1) = 10
2 9nn 11152 . . 3 9 ∈ ℕ
3 peano2nn 10992 . . 3 (9 ∈ ℕ → (9 + 1) ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . 2 (9 + 1) ∈ ℕ
51, 4eqeltrri 2695 1 10 ∈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987  (class class class)co 6615  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899  cn 10980  9c9 11037  cdc 11453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-ltxr 10039  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-dec 11454
This theorem is referenced by:  10pos  11475  10re  11477  decnncl2  11485  declt  11490  decltc  11492  declti  11506  dec10p  11513  3dvds  14995  163prm  15775  631prm  15777  plendx  15987  pleid  15989  otpsstr  15991  ressle  15999  odrngstr  16006  imasvalstr  16052  isposix  16897  ipostr  17093  cnfldstr  19688  bclbnd  24939  ex-prmo  27204  oppgle  29480  rmydioph  37100  1t10e1p1e11  40646  257prm  40802  127prm  40844  3exp4mod41  40862  41prothprmlem1  40863  bgoldbtbndlem1  41012  bgoldbachlt  41018  tgblthelfgott  41020  tgoldbachlt  41021
  Copyright terms: Public domain W3C validator