Theorem dprd2db 19148

Description: The direct product of a collection of direct products. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dprd2d.1	⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
dprd2d.2	⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
dprd2d.3	⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐼)
dprd2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))
dprd2d.5	⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))))
dprd2d.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
dprd2db	⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐺 DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗))))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝐼   𝑖,𝐾   𝜑,𝑖,𝑗   𝑆,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑗)   𝐾(𝑗)

Proof of Theorem dprd2db

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dprd2d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Rel 𝐴)
2		dprd2d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺))
3		dprd2d.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ 𝐼)
4		dprd2d.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝐺dom DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))
5		dprd2d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗)))))
6		dprd2d.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dprd2da 19147	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺dom DProd 𝑆)
8	6	dprdspan 19132	. . 3 ⊢ (𝐺dom DProd 𝑆 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾‘∪ ran 𝑆))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐾‘∪ ran 𝑆))
10		relssres 5879	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ dom 𝐴 ⊆ 𝐼) → (𝐴 ↾ 𝐼) = 𝐴)
11	1, 3, 10	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ↾ 𝐼) = 𝐴)
12	11	imaeq2d 5915	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼)) = (𝑆 “ 𝐴))
13		ffn 6500	. . . . . 6 ⊢ (𝑆:𝐴⟶(SubGrp‘𝐺) → 𝑆 Fn 𝐴)
14		fnima 6464	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 Fn 𝐴 → (𝑆 “ 𝐴) = ran 𝑆)
15	2, 13, 14	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 “ 𝐴) = ran 𝑆)
16	12, 15	eqtr2d 2857	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran 𝑆 = (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼)))
17	16	unieqd 4838	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝑆 = ∪ (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼)))
18	17	fveq2d 6660	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘∪ ran 𝑆) = (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼))))
19		ssidd 3978	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ 𝐼)
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 19	dprd2dlem1 19146	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘∪ (𝑆 “ (𝐴 ↾ 𝐼))) = (𝐺 DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗))))))
21	9, 18, 20	3eqtrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 DProd 𝑆) = (𝐺 DProd (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺 DProd (𝑗 ∈ (𝐴 “ {𝑖}) ↦ (𝑖𝑆𝑗))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3924  {csn 4553  ∪ cuni 4824   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132  dom cdm 5541  ran crn 5542   ↾ cres 5543   “ cima 5544  Rel wrel 5546   Fn wfn 6336  ⟶wf 6337  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142  mrClscmrc 16837  SubGrpcsubg 18256   DProd cdprd 19098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-se 5501  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-of 7395  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7817  df-tpos 7878  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8820  df-oi 8960  df-card 9354  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-nn 11625  df-2 11687  df-n0 11885  df-z 11969  df-uz 12231  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-hash 13681  df-ndx 16469  df-slot 16470  df-base 16472  df-sets 16473  df-ress 16474  df-plusg 16561  df-0g 16698  df-gsum 16699  df-mre 16840  df-mrc 16841  df-acs 16843  df-mgm 17835  df-sgrp 17884  df-mnd 17895  df-mhm 17939  df-submnd 17940  df-grp 18089  df-minusg 18090  df-sbg 18091  df-mulg 18208  df-subg 18259  df-ghm 18339  df-gim 18382  df-cntz 18430  df-oppg 18457  df-lsm 18744  df-cmn 18891  df-dprd 19100

This theorem is referenced by:  dprd2d2  19149