Theorem dvdssqlem 15910

Description: Lemma for dvdssq 15911. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssqlem	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

Proof of Theorem dvdssqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12005	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
2		nnz 12005	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
3		dvdssqim 15904	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 → (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
5		sqgcd 15909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)))
6	5	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)))
7		nnsqcl 13494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀↑2) ∈ ℕ)
8		nnsqcl 13494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁↑2) ∈ ℕ)
9		gcdeq 15903	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℕ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℕ) → (((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
10	7, 8, 9	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) = (𝑀↑2) ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
11	10	biimpar 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → ((𝑀↑2) gcd (𝑁↑2)) = (𝑀↑2))
12	6, 11	eqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → ((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = (𝑀↑2))
13		gcdcl 15855	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
14	1, 2, 13	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 11957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ)
16	14	nn0ge0d 11959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁))
17		nnre 11645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
18	17	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
19		nnnn0 11905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
20	19	nn0ge0d 11959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
21	20	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ 𝑀)
22		sq11 13497	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀)) → (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = (𝑀↑2) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝑀))
23	15, 16, 18, 21, 22	syl22anc 836	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = (𝑀↑2) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝑀))
24	23	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → (((𝑀 gcd 𝑁)↑2) = (𝑀↑2) ↔ (𝑀 gcd 𝑁) = 𝑀))
25	12, 24	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → (𝑀 gcd 𝑁) = 𝑀)
26		gcddvds 15852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
27	1, 2, 26	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
28	27	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
29	28	simprd 498	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)
30	25, 29	eqbrtrrd 5090	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) → 𝑀 ∥ 𝑁)
31	30	ex 415	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) → 𝑀 ∥ 𝑁))
32	4, 31	impbid 214	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537   ≤ cle 10676  ℕcn 11638  2c2 11693  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ↑cexp 13430   ∥ cdvds 15607   gcd cgcd 15843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-dvds 15608  df-gcd 15844

This theorem is referenced by:  dvdssq  15911  muval1  25710