MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gcddvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gcddvds 15012
Description: The gcd of two integers divides each of them. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
gcddvds ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))

Proof of Theorem gcddvds
Dummy variables 𝑛 𝐾 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 11224 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
2 dvds0 14784 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → 0 ∥ 0)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 0 ∥ 0
4 breq2 4582 . . . . . . 7 (𝑀 = 0 → (0 ∥ 𝑀 ↔ 0 ∥ 0))
5 breq2 4582 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 0))
64, 5bi2anan9 913 . . . . . 6 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁) ↔ (0 ∥ 0 ∧ 0 ∥ 0)))
7 anidm 674 . . . . . 6 ((0 ∥ 0 ∧ 0 ∥ 0) ↔ 0 ∥ 0)
86, 7syl6bb 275 . . . . 5 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁) ↔ 0 ∥ 0))
93, 8mpbiri 247 . . . 4 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))
10 oveq12 6536 . . . . . . 7 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = (0 gcd 0))
11 gcd0val 15006 . . . . . . 7 (0 gcd 0) = 0
1210, 11syl6eq 2660 . . . . . 6 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 gcd 𝑁) = 0)
1312breq1d 4588 . . . . 5 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
1412breq1d 4588 . . . . 5 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
1513, 14anbi12d 743 . . . 4 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
169, 15mpbird 246 . . 3 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
1716adantl 481 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
18 eqid 2610 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℤ ∣ ∀𝑧 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛𝑧} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ ∀𝑧 ∈ {𝑀, 𝑁}𝑛𝑧}
19 eqid 2610 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)} = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}
2018, 19gcdcllem3 15010 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∈ ℕ ∧ (sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾𝑀𝐾𝑁) → 𝐾 ≤ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ))))
2120simp2d 1067 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑁))
22 gcdn0val 15007 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (𝑀 gcd 𝑁) = sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ))
2322breq1d 4588 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ↔ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑀))
2422breq1d 4588 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁 ↔ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑁))
2523, 24anbi12d 743 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) ↔ (sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑀 ∧ sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) ∥ 𝑁)))
2621, 25mpbird 246 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
2717, 26pm2.61dan 828 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  {crab 2900  {cpr 4127   class class class wbr 4578  (class class class)co 6527  supcsup 8207  cr 9792  0cc0 9793   < clt 9931  cle 9932  cn 10870  cz 11213  cdvds 14770   gcd cgcd 15003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-sup 8209  df-inf 8210  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-seq 12622  df-exp 12681  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-dvds 14771  df-gcd 15004
This theorem is referenced by:  zeqzmulgcd  15019  divgcdz  15020  divgcdnn  15023  gcd0id  15027  gcdneg  15030  gcdaddmlem  15032  gcd1  15036  bezoutlem4  15046  dvdsgcdb  15049  dfgcd2  15050  mulgcd  15052  gcdzeq  15058  dvdsmulgcd  15061  sqgcd  15065  dvdssqlem  15066  bezoutr  15068  gcddvdslcm  15102  lcmgcdlem  15106  lcmgcdeq  15112  coprmgcdb  15149  mulgcddvds  15156  rpmulgcd2  15157  qredeu  15159  rpdvds  15161  divgcdcoprm0  15166  divgcdodd  15209  coprm  15210  rpexp  15219  divnumden  15243  phimullem  15271  hashgcdlem  15280  hashgcdeq  15281  phisum  15282  pythagtriplem4  15311  pythagtriplem19  15325  pcgcd1  15368  pc2dvds  15370  pockthlem  15396  odmulg  17745  odadd1  18023  odadd2  18024  znunit  19679  znrrg  19681  dvdsmulf1o  24665  2sqlem8  24896  2sqcoprm  28772  qqhval2lem  29147  goldbachthlem2  39791  divgcdoddALTV  39926
  Copyright terms: Public domain W3C validator