Theorem frfnom 7701

Description: The function generated by finite recursive definition generation is a function on omega. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
frfnom	⊢ (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) Fn ω

Proof of Theorem frfnom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfun 7683	. . 3 ⊢ Fun rec(𝐹, 𝐴)
2		funres 6091	. . 3 ⊢ (Fun rec(𝐹, 𝐴) → Fun (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ Fun (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)
4		dmres 5578	. . 3 ⊢ dom (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) = (ω ∩ dom rec(𝐹, 𝐴))
5		rdgdmlim 7684	. . . . 5 ⊢ Lim dom rec(𝐹, 𝐴)
6		limomss 7237	. . . . 5 ⊢ (Lim dom rec(𝐹, 𝐴) → ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴)
8		df-ss 3730	. . . 4 ⊢ (ω ⊆ dom rec(𝐹, 𝐴) ↔ (ω ∩ dom rec(𝐹, 𝐴)) = ω)
9	7, 8	mpbi 220	. . 3 ⊢ (ω ∩ dom rec(𝐹, 𝐴)) = ω
10	4, 9	eqtri 2783	. 2 ⊢ dom (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) = ω
11		df-fn 6053	. 2 ⊢ ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) Fn ω ↔ (Fun (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) ∧ dom (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) = ω))
12	3, 10, 11	mpbir2an 993	1 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) Fn ω

Syntax hints:   = wceq 1632   ∩ cin 3715   ⊆ wss 3716  dom cdm 5267   ↾ cres 5269  Lim wlim 5886  Fun wfun 6044   Fn wfn 6045  ωcom 7232  reccrdg 7676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677

This theorem is referenced by:  frsucmptn  7705  seqomlem2  7717  seqomlem3  7718  seqomlem4  7719  unblem4  8383  dffi3  8505  inf0  8694  inf3lem6  8706  alephfplem4  9141  alephfp  9142  infpssrlem3  9340  itunifn  9452  hsmexlem5  9465  axdclem2  9555  wunex2  9773  wuncval2  9782  peano5nni  11236  1nn  11244  peano2nn  11245  om2uzrani  12966  om2uzf1oi  12967  uzrdglem  12971  uzrdgfni  12972  uzrdg0i  12973  hashkf  13334  hashgval2  13380  dftrpred2  32046  trpredpred  32055  trpredex  32064  neibastop2lem  32683  cnfin0  33570  cnfinltrel  33571