MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsmsymgrfixlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsmsymgrfixlem1 17768
Description: Lemma 1 for gsmsymgrfix 17769. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgrfixlem1 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑖,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgrfixlem1
StepHypRef Expression
1 lencl 13263 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
2 elnn0uz 11669 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘0))
31, 2sylib 208 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘0))
43adantr 481 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘0))
543ad2ant1 1080 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘0))
6 fzosplitsn 12517 . . . . 5 ((#‘𝑊) ∈ (ℤ‘0) → (0..^((#‘𝑊) + 1)) = ((0..^(#‘𝑊)) ∪ {(#‘𝑊)}))
75, 6syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (0..^((#‘𝑊) + 1)) = ((0..^(#‘𝑊)) ∪ {(#‘𝑊)}))
87raleqdv 3133 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^(#‘𝑊)) ∪ {(#‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
91adantr 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
1093ad2ant1 1080 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
11 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑖 = (#‘𝑊) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊)))
1211fveq1d 6150 . . . . . 6 (𝑖 = (#‘𝑊) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾))
1312eqeq1d 2623 . . . . 5 (𝑖 = (#‘𝑊) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾))
1413ralunsn 4390 . . . 4 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (∀𝑖 ∈ ((0..^(#‘𝑊)) ∪ {(#‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
1510, 14syl 17 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ ((0..^(#‘𝑊)) ∪ {(#‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
168, 15bitrd 268 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
17 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
18 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → 𝑃𝐵)
19 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → (#‘𝑊) = (#‘𝑊))
2017, 18, 193jca 1240 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵 ∧ (#‘𝑊) = (#‘𝑊)))
2120adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵 ∧ (#‘𝑊) = (#‘𝑊)))
22 ccats1val2 13342 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵 ∧ (#‘𝑊) = (#‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊)) = 𝑃)
2322fveq1d 6150 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵 ∧ (#‘𝑊) = (#‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = (𝑃𝐾))
2423eqeq1d 2623 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵 ∧ (#‘𝑊) = (#‘𝑊)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃𝐾) = 𝐾))
2521, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃𝐾) = 𝐾))
26253adant3 1079 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃𝐾) = 𝐾))
27 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
2827adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
2917adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
3018adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → 𝑃𝐵)
3128, 29, 303jca 1240 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵))
32313adant3 1079 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵))
3332adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵))
34 gsmsymgrfix.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
35 gsmsymgrfix.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑆)
3634, 35gsumccatsymgsn 17767 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → (𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)) = ((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃))
3736fveq1d 6150 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
3833, 37syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
3934, 35symgbasf 17725 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃𝐵𝑃:𝑁𝑁)
40 ffn 6002 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃:𝑁𝑁𝑃 Fn 𝑁)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃𝐵𝑃 Fn 𝑁)
4241adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → 𝑃 Fn 𝑁)
43 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
4442, 43anim12i 589 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → (𝑃 Fn 𝑁𝐾𝑁))
45443adant3 1079 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (𝑃 Fn 𝑁𝐾𝑁))
4645adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → (𝑃 Fn 𝑁𝐾𝑁))
47 fvco2 6230 . . . . . . . 8 ((𝑃 Fn 𝑁𝐾𝑁) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃𝐾)))
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃𝐾)))
49 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃𝐾)) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
5049adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃𝐾)) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
5150adantl 482 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃𝐾)) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
5229adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
5330adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑃𝐵)
54 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
55 ccats1val1 13341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
5652, 53, 54, 55syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
5756fveq1d 6150 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = ((𝑊𝑖)‘𝐾))
5857eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
5958ralbidva 2979 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
6059biimpd 219 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
6160adantld 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → (((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
62613adant3 1079 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
63 simp3 1061 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
6462, 63syld 47 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
6564imp 445 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)
6651, 65eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃𝐾)) = 𝐾)
6738, 48, 663eqtrd 2659 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)
6867exp32 630 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑃𝐾) = 𝐾 → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
6926, 68sylbid 230 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
7069com23 86 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
7170impd 447 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
7216, 71sylbid 230 1 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  cun 3553  {csn 4148  ccom 5078   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  0cn0 11236  cuz 11631  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   ++ cconcat 13232  ⟨“cs1 13233  Basecbs 15781   Σg cgsu 16022  SymGrpcsymg 17718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-tset 15881  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-symg 17719
This theorem is referenced by:  gsmsymgrfix  17769
  Copyright terms: Public domain W3C validator