MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccats1val2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccats1val2 13337
Description: Value of the symbol concatenated with a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.) (Proof shortened by Alexander van der Vekens, 14-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
ccats1val2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (#‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = 𝑆)

Proof of Theorem ccats1val2
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (#‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 s1cl 13316 . . . 4 (𝑆𝑉 → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉)
323ad2ant2 1081 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (#‘𝑊)) → ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉)
4 lencl 13258 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
54nn0zd 11424 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
6 elfzomin 12477 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℤ → (#‘𝑊) ∈ ((#‘𝑊)..^((#‘𝑊) + 1)))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ((#‘𝑊)..^((#‘𝑊) + 1)))
8 s1len 13319 . . . . . . . . 9 (#‘⟨“𝑆”⟩) = 1
98oveq2i 6616 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) + (#‘⟨“𝑆”⟩)) = ((#‘𝑊) + 1)
109oveq2i 6616 . . . . . . 7 ((#‘𝑊)..^((#‘𝑊) + (#‘⟨“𝑆”⟩))) = ((#‘𝑊)..^((#‘𝑊) + 1))
117, 10syl6eleqr 2715 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ((#‘𝑊)..^((#‘𝑊) + (#‘⟨“𝑆”⟩))))
1211adantr 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 = (#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ((#‘𝑊)..^((#‘𝑊) + (#‘⟨“𝑆”⟩))))
13 eleq1 2692 . . . . . 6 (𝐼 = (#‘𝑊) → (𝐼 ∈ ((#‘𝑊)..^((#‘𝑊) + (#‘⟨“𝑆”⟩))) ↔ (#‘𝑊) ∈ ((#‘𝑊)..^((#‘𝑊) + (#‘⟨“𝑆”⟩)))))
1413adantl 482 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 = (#‘𝑊)) → (𝐼 ∈ ((#‘𝑊)..^((#‘𝑊) + (#‘⟨“𝑆”⟩))) ↔ (#‘𝑊) ∈ ((#‘𝑊)..^((#‘𝑊) + (#‘⟨“𝑆”⟩)))))
1512, 14mpbird 247 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐼 = (#‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ((#‘𝑊)..^((#‘𝑊) + (#‘⟨“𝑆”⟩))))
16153adant2 1078 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (#‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ((#‘𝑊)..^((#‘𝑊) + (#‘⟨“𝑆”⟩))))
17 ccatval2 13296 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑆”⟩ ∈ Word 𝑉𝐼 ∈ ((#‘𝑊)..^((#‘𝑊) + (#‘⟨“𝑆”⟩)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (#‘𝑊))))
181, 3, 16, 17syl3anc 1323 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (#‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (#‘𝑊))))
19 oveq1 6612 . . . . 5 (𝐼 = (#‘𝑊) → (𝐼 − (#‘𝑊)) = ((#‘𝑊) − (#‘𝑊)))
20193ad2ant3 1082 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (#‘𝑊)) → (𝐼 − (#‘𝑊)) = ((#‘𝑊) − (#‘𝑊)))
214nn0cnd 11298 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
2221subidd 10325 . . . . 5 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) − (#‘𝑊)) = 0)
23223ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) − (#‘𝑊)) = 0)
2420, 23eqtrd 2660 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (#‘𝑊)) → (𝐼 − (#‘𝑊)) = 0)
2524fveq2d 6154 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (#‘𝑊)) → (⟨“𝑆”⟩‘(𝐼 − (#‘𝑊))) = (⟨“𝑆”⟩‘0))
26 s1fv 13324 . . 3 (𝑆𝑉 → (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆)
27263ad2ant2 1081 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (#‘𝑊)) → (⟨“𝑆”⟩‘0) = 𝑆)
2818, 25, 273eqtrd 2664 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑆𝑉𝐼 = (#‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑆”⟩)‘𝐼) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884  cmin 10211  cz 11322  ..^cfzo 12403  #chash 13054  Word cword 13225   ++ cconcat 13227  ⟨“cs1 13228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-hash 13055  df-word 13233  df-concat 13235  df-s1 13236
This theorem is referenced by:  ccatws1ls  13343  ccatw2s1p1  13346  ccatw2s1p2  13347  gsmsymgrfixlem1  17763  gsmsymgreqlem2  17767  wwlksnext  26651
  Copyright terms: Public domain W3C validator