Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptf1o 18283
 Description: Re-index a finite group sum using a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptf1o.x 𝑥𝐻
gsummptf1o.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptf1o.z 0 = (0g𝐺)
gsummptf1o.i (𝑥 = 𝐸𝐶 = 𝐻)
gsummptf1o.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptf1o.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsummptf1o.d (𝜑𝐹𝐵)
gsummptf1o.f ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐹)
gsummptf1o.e ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐸𝐴)
gsummptf1o.h ((𝜑𝑥𝐴) → ∃!𝑦𝐷 𝑥 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
gsummptf1o (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑦𝐷𝐻)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐸   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑦)   𝐶(𝑥)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)   0 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem gsummptf1o
StepHypRef Expression
1 gsummptf1o.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsummptf1o.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsummptf1o.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsummptf1o.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
5 gsummptf1o.d . . . . . 6 (𝜑𝐹𝐵)
65adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐹𝐵)
7 gsummptf1o.f . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐹)
86, 7sseldd 3584 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝐵)
9 eqid 2621 . . . 4 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
108, 9fmptd 6340 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴𝐵)
11 fvex 6158 . . . . . 6 (0g𝐺) ∈ V
122, 11eqeltri 2694 . . . . 5 0 ∈ V
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑0 ∈ V)
149, 4, 8, 13fsuppmptdm 8230 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) finSupp 0 )
15 gsummptf1o.e . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐸𝐴)
1615ralrimiva 2960 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦𝐷 𝐸𝐴)
17 gsummptf1o.h . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃!𝑦𝐷 𝑥 = 𝐸)
1817ralrimiva 2960 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐷 𝑥 = 𝐸)
19 eqid 2621 . . . . 5 (𝑦𝐷𝐸) = (𝑦𝐷𝐸)
2019f1ompt 6338 . . . 4 ((𝑦𝐷𝐸):𝐷1-1-onto𝐴 ↔ (∀𝑦𝐷 𝐸𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 ∃!𝑦𝐷 𝑥 = 𝐸))
2116, 18, 20sylanbrc 697 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐷𝐸):𝐷1-1-onto𝐴)
221, 2, 3, 4, 10, 14, 21gsumf1o 18238 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝐺 Σg ((𝑥𝐴𝐶) ∘ (𝑦𝐷𝐸))))
23 eqidd 2622 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐷𝐸) = (𝑦𝐷𝐸))
24 eqidd 2622 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶))
2516, 23, 24fmptcos 6353 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∘ (𝑦𝐷𝐸)) = (𝑦𝐷𝐸 / 𝑥𝐶))
26 nfv 1840 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑦𝐷)
27 gsummptf1o.x . . . . . . 7 𝑥𝐻
2827a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝑥𝐻)
29 gsummptf1o.i . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐸𝐶 = 𝐻)
3029adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑦𝐷) ∧ 𝑥 = 𝐸) → 𝐶 = 𝐻)
3126, 28, 15, 30csbiedf 3535 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → 𝐸 / 𝑥𝐶 = 𝐻)
3231mpteq2dva 4704 . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐷𝐸 / 𝑥𝐶) = (𝑦𝐷𝐻))
3325, 32eqtrd 2655 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐶) ∘ (𝑦𝐷𝐸)) = (𝑦𝐷𝐻))
3433oveq2d 6620 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑥𝐴𝐶) ∘ (𝑦𝐷𝐸))) = (𝐺 Σg (𝑦𝐷𝐻)))
3522, 34eqtrd 2655 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥𝐴𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑦𝐷𝐻)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Ⅎwnfc 2748  ∀wral 2907  ∃!wreu 2909  Vcvv 3186  ⦋csb 3514   ⊆ wss 3555   ↦ cmpt 4673   ∘ ccom 5078  –1-1-onto→wf1o 5846  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  Basecbs 15781  0gc0g 16021   Σg cgsu 16022  CMndccmn 18114 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-hash 13058  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-cntz 17671  df-cmn 18116 This theorem is referenced by:  gsummpt2co  29562  mdetpmtr1  29668
 Copyright terms: Public domain W3C validator