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Theorem mdetpmtr1 29713
 Description: The determinant of a matrix with permuted rows is the determinant of the original matrix multiplied by the sign of the permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetpmtr.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetpmtr.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetpmtr.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetpmtr.g 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetpmtr.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetpmtr.z 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetpmtr.t · = (.r𝑅)
mdetpmtr1.e 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀𝑗))
Assertion
Ref Expression
mdetpmtr1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetpmtr1
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2621 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 eqid 2621 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 mdetpmtr.t . . 3 · = (.r𝑅)
5 simpll 789 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑅 ∈ CRing)
6 crngring 18498 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
75, 6syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑅 ∈ Ring)
8 mdetpmtr.g . . . . 5 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
9 fvex 6168 . . . . 5 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ V
108, 9eqeltri 2694 . . . 4 𝐺 ∈ V
1110a1i 11 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝐺 ∈ V)
12 simplr 791 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑁 ∈ Fin)
13 mdetpmtr.s . . . . . . 7 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
1413, 8psgndmfi 29673 . . . . . 6 (𝑁 ∈ Fin → 𝑆 Fn 𝐺)
15 fnfun 5956 . . . . . 6 (𝑆 Fn 𝐺 → Fun 𝑆)
1612, 14, 153syl 18 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → Fun 𝑆)
17 simprr 795 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑃𝐺)
18 fndm 5958 . . . . . . 7 (𝑆 Fn 𝐺 → dom 𝑆 = 𝐺)
1912, 14, 183syl 18 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → dom 𝑆 = 𝐺)
2017, 19eleqtrrd 2701 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑃 ∈ dom 𝑆)
21 fvco 6241 . . . . 5 ((Fun 𝑆𝑃 ∈ dom 𝑆) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆𝑃)))
2216, 20, 21syl2anc 692 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆𝑃)))
23 mdetpmtr.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
248, 13, 23zrhpsgnelbas 19880 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑃)) ∈ (Base‘𝑅))
257, 12, 17, 24syl3anc 1323 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑍‘(𝑆𝑃)) ∈ (Base‘𝑅))
2622, 25eqeltrd 2698 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
277adantr 481 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑅 ∈ Ring)
288, 23, 13zrhcofipsgn 19879 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑝) = (𝑍‘(𝑆𝑝)))
2912, 28sylan 488 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑝) = (𝑍‘(𝑆𝑝)))
3012adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑁 ∈ Fin)
31 simpr 477 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑝𝐺)
328, 13, 23zrhpsgnelbas 19880 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑝)) ∈ (Base‘𝑅))
3327, 30, 31, 32syl3anc 1323 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑝)) ∈ (Base‘𝑅))
3429, 33eqeltrd 2698 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
35 eqid 2621 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3635, 1mgpbas 18435 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
3735crngmgp 18495 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3837ad3antrrr 765 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
39 mdetpmtr.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
40 mdetpmtr.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
41 simplr 791 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑝𝐺)
42 simpr 477 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥𝑁)
43 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
4443, 8symgfv 17747 . . . . . . . 8 ((𝑝𝐺𝑥𝑁) → (𝑝𝑥) ∈ 𝑁)
4541, 42, 44syl2anc 692 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑝𝑥) ∈ 𝑁)
46 mdetpmtr1.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀𝑗))
47 simp1rr 1125 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃𝐺)
48 simp2 1060 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
4943, 8symgfv 17747 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝐺𝑖𝑁) → (𝑃𝑖) ∈ 𝑁)
5047, 48, 49syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑃𝑖) ∈ 𝑁)
51 simp3 1061 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
52 simp1rl 1124 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑀𝐵)
5339, 1, 40, 50, 51, 52matecld 20172 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑃𝑖)𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
5439, 1, 40, 12, 5, 53matbas2d 20169 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀𝑗)) ∈ 𝐵)
5546, 54syl5eqel 2702 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝐸𝐵)
5655ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝐸𝐵)
5739, 1, 40, 45, 42, 56matecld 20172 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → ((𝑝𝑥)𝐸𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
5857ralrimiva 2962 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ∀𝑥𝑁 ((𝑝𝑥)𝐸𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
5936, 38, 30, 58gsummptcl 18306 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
601, 4ringcl 18501 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
6127, 34, 59, 60syl3anc 1323 . . 3 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
62 eqid 2621 . . . 4 (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))) = (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))))
6343, 8symgbasfi 17746 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → 𝐺 ∈ Fin)
6412, 63syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝐺 ∈ Fin)
65 ovexd 6645 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ V)
66 fvexd 6170 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (0g𝑅) ∈ V)
6762, 64, 65, 66fsuppmptdm 8246 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))) finSupp (0g𝑅))
681, 2, 3, 4, 7, 11, 26, 61, 67gsummulc2 18547 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))))
69 nfcv 2761 . . . 4 𝑞(((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
70 fveq2 6158 . . . . 5 (𝑞 = (𝑃𝑝) → ((𝑍𝑆)‘𝑞) = ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)))
71 fveq1 6157 . . . . . . . 8 (𝑞 = (𝑃𝑝) → (𝑞𝑥) = ((𝑃𝑝)‘𝑥))
7271oveq1d 6630 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝑃𝑝) → ((𝑞𝑥)𝑀𝑥) = (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
7372mpteq2dv 4715 . . . . . 6 (𝑞 = (𝑃𝑝) → (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))
7473oveq2d 6631 . . . . 5 (𝑞 = (𝑃𝑝) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
7570, 74oveq12d 6633 . . . 4 (𝑞 = (𝑃𝑝) → (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))) = (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
76 ringcmn 18521 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
777, 76syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑅 ∈ CMnd)
78 ssid 3609 . . . . 5 (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)
7978a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
807adantr 481 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑅 ∈ Ring)
8112adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑁 ∈ Fin)
82 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑞𝐺)
838, 23, 13zrhcofipsgn 19879 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑞𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑞) = (𝑍‘(𝑆𝑞)))
8481, 82, 83syl2anc 692 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑞) = (𝑍‘(𝑆𝑞)))
858, 13, 23zrhpsgnelbas 19880 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑞𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑞)) ∈ (Base‘𝑅))
8680, 81, 82, 85syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑞)) ∈ (Base‘𝑅))
8784, 86eqeltrd 2698 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅))
8837ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
89 simpllr 798 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑁 ∈ Fin)
90 simplr 791 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑞𝐺)
91 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥𝑁)
9243, 8symgfv 17747 . . . . . . . . 9 ((𝑞𝐺𝑥𝑁) → (𝑞𝑥) ∈ 𝑁)
9390, 91, 92syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑞𝑥) ∈ 𝑁)
94 simprl 793 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑀𝐵)
9594ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑀𝐵)
9639, 1, 40, 93, 91, 95matecld 20172 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → ((𝑞𝑥)𝑀𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
9796ralrimiva 2962 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ∀𝑥𝑁 ((𝑞𝑥)𝑀𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
9836, 88, 89, 97gsummptcl 18306 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
991, 4ringcl 18501 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
10080, 87, 98, 99syl3anc 1323 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
101 eqid 2621 . . . . . . 7 (+g‘(SymGrp‘𝑁)) = (+g‘(SymGrp‘𝑁))
10243, 8, 101symgov 17750 . . . . . 6 ((𝑃𝐺𝑝𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) = (𝑃𝑝))
10343, 8, 101symgcl 17751 . . . . . 6 ((𝑃𝐺𝑝𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ 𝐺)
104102, 103eqeltrrd 2699 . . . . 5 ((𝑃𝐺𝑝𝐺) → (𝑃𝑝) ∈ 𝐺)
10517, 104sylan 488 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑃𝑝) ∈ 𝐺)
10617adantr 481 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑃𝐺)
1078symgfcoeu 29672 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺𝑞𝐺) → ∃!𝑝𝐺 𝑞 = (𝑃𝑝))
10881, 106, 82, 107syl3anc 1323 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ∃!𝑝𝐺 𝑞 = (𝑃𝑝))
10969, 1, 2, 75, 77, 64, 79, 100, 105, 108gsummptf1o 18302 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑞𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
110 mdetpmtr.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
111110, 39, 40, 8, 23, 13, 4, 35mdetleib 20333 . . . 4 (𝑀𝐵 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))))))
112111ad2antrl 763 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))))))
11326adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
1141, 4ringass 18504 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑍𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑍𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))
11527, 113, 34, 59, 114syl13anc 1325 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))
11622adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆𝑃)))
117116, 29oveq12d 6633 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) = ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑝))))
1188, 23, 13zrhcofipsgn 19879 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑃𝑝) ∈ 𝐺) → ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) = (𝑍‘(𝑆‘(𝑃𝑝))))
11930, 105, 118syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) = (𝑍‘(𝑆‘(𝑃𝑝))))
12017adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑃𝐺)
12143, 13, 8psgnco 19869 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺𝑝𝐺) → (𝑆‘(𝑃𝑝)) = ((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝)))
12230, 120, 31, 121syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆‘(𝑃𝑝)) = ((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝)))
123122fveq2d 6162 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘(𝑃𝑝))) = (𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝))))
12423zrhrhm 19800 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
1257, 124syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
126125adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
127 1z 11367 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
128 neg1z 11373 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℤ
129 prssi 4328 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → {1, -1} ⊆ ℤ)
130127, 128, 129mp2an 707 . . . . . . . . . . 11 {1, -1} ⊆ ℤ
1318, 13psgnran 17875 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺) → (𝑆𝑃) ∈ {1, -1})
13230, 120, 131syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑃) ∈ {1, -1})
133130, 132sseldi 3586 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑃) ∈ ℤ)
1348, 13psgnran 17875 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑝) ∈ {1, -1})
13530, 31, 134syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑝) ∈ {1, -1})
136130, 135sseldi 3586 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑝) ∈ ℤ)
137 zringbas 19764 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘ℤring)
138 zringmulr 19767 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘ℤring)
139137, 138, 4rhmmul 18667 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ (𝑆𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑝) ∈ ℤ) → (𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝))) = ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑝))))
140126, 133, 136, 139syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝))) = ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑝))))
141119, 123, 1403eqtrrd 2660 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑝))) = ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)))
142117, 141eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) = ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)))
14346a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀𝑗)))
144 simprl 793 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑖 = (𝑝𝑥))
145144fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑝𝑥)))
146 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑝𝐺)
14743, 8symgbasf 17744 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝𝐺𝑝:𝑁𝑁)
148 ffun 6015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝:𝑁𝑁 → Fun 𝑝)
149146, 147, 1483syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → Fun 𝑝)
150 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑥𝑁)
151 fdm 6018 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝:𝑁𝑁 → dom 𝑝 = 𝑁)
152146, 147, 1513syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → dom 𝑝 = 𝑁)
153150, 152eleqtrrd 2701 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑥 ∈ dom 𝑝)
154 fvco 6241 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝑝𝑥 ∈ dom 𝑝) → ((𝑃𝑝)‘𝑥) = (𝑃‘(𝑝𝑥)))
155149, 153, 154syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → ((𝑃𝑝)‘𝑥) = (𝑃‘(𝑝𝑥)))
156145, 155eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → (𝑃𝑖) = ((𝑃𝑝)‘𝑥))
157 simprr 795 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑗 = 𝑥)
158156, 157oveq12d 6633 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → ((𝑃𝑖)𝑀𝑗) = (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
159 ovexd 6645 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥) ∈ V)
160143, 158, 45, 42, 159ovmpt2d 6753 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → ((𝑝𝑥)𝐸𝑥) = (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
161160mpteq2dva 4714 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)) = (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))
162161oveq2d 6631 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
163142, 162oveq12d 6633 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
164115, 163eqtr3d 2657 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))) = (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
165164mpteq2dva 4714 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))))) = (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))))
166165oveq2d 6631 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
167109, 112, 1663eqtr4d 2665 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))))
168110, 39, 40, 8, 23, 13, 4, 35mdetleib 20333 . . . 4 (𝐸𝐵 → (𝐷𝐸) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))))))
16955, 168syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝐸) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))))))
170169oveq2d 6631 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))))
17168, 167, 1703eqtr4d 2665 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∃!wreu 2910  Vcvv 3190   ⊆ wss 3560  {cpr 4157   ↦ cmpt 4683  dom cdm 5084   ∘ ccom 5088  Fun wfun 5851   Fn wfn 5852  ⟶wf 5853  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615   ↦ cmpt2 6617  Fincfn 7915  1c1 9897   · cmul 9901  -cneg 10227  ℤcz 11337  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  .rcmulr 15882  0gc0g 16040   Σg cgsu 16041  SymGrpcsymg 17737  pmSgncpsgn 17849  CMndccmn 18133  mulGrpcmgp 18429  Ringcrg 18487  CRingccrg 18488   RingHom crh 18652  ℤringzring 19758  ℤRHomczrh 19788   Mat cmat 20153   maDet cmdat 20330 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-addf 9975  ax-mulf 9976 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-xor 1462  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-ot 4164  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-sup 8308  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-word 13254  df-lsw 13255  df-concat 13256  df-s1 13257  df-substr 13258  df-splice 13259  df-reverse 13260  df-s2 13546  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-prds 16048  df-pws 16050  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-submnd 17276  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-mulg 17481  df-subg 17531  df-ghm 17598  df-gim 17641  df-cntz 17690  df-oppg 17716  df-symg 17738  df-pmtr 17802  df-psgn 17851  df-cmn 18135  df-abl 18136  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-cring 18490  df-oppr 18563  df-dvdsr 18581  df-unit 18582  df-invr 18612  df-dvr 18623  df-rnghom 18655  df-drng 18689  df-subrg 18718  df-sra 19112  df-rgmod 19113  df-cnfld 19687  df-zring 19759  df-zrh 19792  df-dsmm 20016  df-frlm 20031  df-mat 20154  df-mdet 20331 This theorem is referenced by:  mdetpmtr2  29714  mdetpmtr12  29715
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