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Theorem mdetpmtr1 29014
Description: The determinant of a matrix with permuted rows is the determinant of the original matrix multiplied by the sign of the permutation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetpmtr.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetpmtr.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetpmtr.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetpmtr.g 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetpmtr.s 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetpmtr.z 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetpmtr.t · = (.r𝑅)
mdetpmtr1.e 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀𝑗))
Assertion
Ref Expression
mdetpmtr1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗   𝑖,𝑀,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗)   𝑆(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   𝐸(𝑖,𝑗)   𝑍(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetpmtr1
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2514 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2514 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑅)
3 eqid 2514 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 mdetpmtr.t . . 3 · = (.r𝑅)
5 simpll 785 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑅 ∈ CRing)
6 crngring 18286 . . . 4 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
75, 6syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑅 ∈ Ring)
8 mdetpmtr.g . . . . 5 𝐺 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
9 fvex 5996 . . . . 5 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ V
108, 9eqeltri 2588 . . . 4 𝐺 ∈ V
1110a1i 11 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝐺 ∈ V)
12 simplr 787 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑁 ∈ Fin)
13 mdetpmtr.s . . . . . . 7 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
1413, 8psgndmfi 28974 . . . . . 6 (𝑁 ∈ Fin → 𝑆 Fn 𝐺)
15 fnfun 5787 . . . . . 6 (𝑆 Fn 𝐺 → Fun 𝑆)
1612, 14, 153syl 18 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → Fun 𝑆)
17 simprr 791 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑃𝐺)
18 fndm 5789 . . . . . . 7 (𝑆 Fn 𝐺 → dom 𝑆 = 𝐺)
1912, 14, 183syl 18 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → dom 𝑆 = 𝐺)
2017, 19eleqtrrd 2595 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑃 ∈ dom 𝑆)
21 fvco 6067 . . . . 5 ((Fun 𝑆𝑃 ∈ dom 𝑆) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆𝑃)))
2216, 20, 21syl2anc 690 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆𝑃)))
23 mdetpmtr.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤRHom‘𝑅)
248, 13, 23zrhpsgnelbas 19663 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑃)) ∈ (Base‘𝑅))
257, 12, 17, 24syl3anc 1317 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑍‘(𝑆𝑃)) ∈ (Base‘𝑅))
2622, 25eqeltrd 2592 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
277adantr 479 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑅 ∈ Ring)
288, 23, 13zrhcofipsgn 19662 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑝) = (𝑍‘(𝑆𝑝)))
2912, 28sylan 486 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑝) = (𝑍‘(𝑆𝑝)))
3012adantr 479 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑁 ∈ Fin)
31 simpr 475 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑝𝐺)
328, 13, 23zrhpsgnelbas 19663 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑝)) ∈ (Base‘𝑅))
3327, 30, 31, 32syl3anc 1317 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑝)) ∈ (Base‘𝑅))
3429, 33eqeltrd 2592 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅))
35 eqid 2514 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
3635, 1mgpbas 18223 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
3735crngmgp 18283 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
3837ad3antrrr 761 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
39 mdetpmtr.a . . . . . . 7 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
40 mdetpmtr.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
41 simplr 787 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑝𝐺)
42 simpr 475 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥𝑁)
43 eqid 2514 . . . . . . . . 9 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
4443, 8symgfv 17520 . . . . . . . 8 ((𝑝𝐺𝑥𝑁) → (𝑝𝑥) ∈ 𝑁)
4541, 42, 44syl2anc 690 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑝𝑥) ∈ 𝑁)
46 mdetpmtr1.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀𝑗))
47 simp1rr 1119 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑃𝐺)
48 simp2 1054 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
4943, 8symgfv 17520 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃𝐺𝑖𝑁) → (𝑃𝑖) ∈ 𝑁)
5047, 48, 49syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑃𝑖) ∈ 𝑁)
51 simp3 1055 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
52 simp1rl 1118 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑀𝐵)
5339, 1, 40, 50, 51, 52matecld 19952 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → ((𝑃𝑖)𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
5439, 1, 40, 12, 5, 53matbas2d 19949 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀𝑗)) ∈ 𝐵)
5546, 54syl5eqel 2596 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝐸𝐵)
5655ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝐸𝐵)
5739, 1, 40, 45, 42, 56matecld 19952 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → ((𝑝𝑥)𝐸𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
5857ralrimiva 2853 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ∀𝑥𝑁 ((𝑝𝑥)𝐸𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
5936, 38, 30, 58gsummptcl 18094 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
601, 4ringcl 18289 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
6127, 34, 59, 60syl3anc 1317 . . 3 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
62 eqid 2514 . . . 4 (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))) = (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))))
6343, 8symgbasfi 17519 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → 𝐺 ∈ Fin)
6412, 63syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝐺 ∈ Fin)
65 ovex 6453 . . . . 5 (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ V
6665a1i 11 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) ∈ V)
67 fvex 5996 . . . . 5 (0g𝑅) ∈ V
6867a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (0g𝑅) ∈ V)
6962, 64, 66, 68fsuppmptdm 8044 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))) finSupp (0g𝑅))
701, 2, 3, 4, 7, 11, 26, 61, 69gsummulc2 18335 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))))
71 nfcv 2655 . . . 4 𝑞(((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
72 fveq2 5986 . . . . 5 (𝑞 = (𝑃𝑝) → ((𝑍𝑆)‘𝑞) = ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)))
73 fveq1 5985 . . . . . . . 8 (𝑞 = (𝑃𝑝) → (𝑞𝑥) = ((𝑃𝑝)‘𝑥))
7473oveq1d 6440 . . . . . . 7 (𝑞 = (𝑃𝑝) → ((𝑞𝑥)𝑀𝑥) = (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
7574mpteq2dv 4571 . . . . . 6 (𝑞 = (𝑃𝑝) → (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)) = (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))
7675oveq2d 6441 . . . . 5 (𝑞 = (𝑃𝑝) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
7772, 76oveq12d 6443 . . . 4 (𝑞 = (𝑃𝑝) → (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))) = (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
78 ringcmn 18309 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
797, 78syl 17 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑅 ∈ CMnd)
80 ssid 3491 . . . . 5 (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅)
8180a1i 11 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
827adantr 479 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑅 ∈ Ring)
8312adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑁 ∈ Fin)
84 simpr 475 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑞𝐺)
858, 23, 13zrhcofipsgn 19662 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑞𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑞) = (𝑍‘(𝑆𝑞)))
8683, 84, 85syl2anc 690 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑞) = (𝑍‘(𝑆𝑞)))
878, 13, 23zrhpsgnelbas 19663 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑞𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑞)) ∈ (Base‘𝑅))
8882, 83, 84, 87syl3anc 1317 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → (𝑍‘(𝑆𝑞)) ∈ (Base‘𝑅))
8986, 88eqeltrd 2592 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅))
9037ad3antrrr 761 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → (mulGrp‘𝑅) ∈ CMnd)
91 simpllr 794 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑁 ∈ Fin)
92 simplr 787 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑞𝐺)
93 simpr 475 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑥𝑁)
9443, 8symgfv 17520 . . . . . . . . 9 ((𝑞𝐺𝑥𝑁) → (𝑞𝑥) ∈ 𝑁)
9592, 93, 94syl2anc 690 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → (𝑞𝑥) ∈ 𝑁)
96 simprl 789 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑀𝐵)
9796ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝑀𝐵)
9839, 1, 40, 95, 93, 97matecld 19952 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → ((𝑞𝑥)𝑀𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
9998ralrimiva 2853 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ∀𝑥𝑁 ((𝑞𝑥)𝑀𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
10036, 90, 91, 99gsummptcl 18094 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))
1011, 4ringcl 18289 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((𝑍𝑆)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥))) ∈ (Base‘𝑅)) → (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
10282, 89, 100, 101syl3anc 1317 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))) ∈ (Base‘𝑅))
103 eqid 2514 . . . . . . 7 (+g‘(SymGrp‘𝑁)) = (+g‘(SymGrp‘𝑁))
10443, 8, 103symgov 17523 . . . . . 6 ((𝑃𝐺𝑝𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) = (𝑃𝑝))
10543, 8, 103symgcl 17524 . . . . . 6 ((𝑃𝐺𝑝𝐺) → (𝑃(+g‘(SymGrp‘𝑁))𝑝) ∈ 𝐺)
106104, 105eqeltrrd 2593 . . . . 5 ((𝑃𝐺𝑝𝐺) → (𝑃𝑝) ∈ 𝐺)
10717, 106sylan 486 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑃𝑝) ∈ 𝐺)
10817adantr 479 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → 𝑃𝐺)
1098symgfcoeu 28973 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺𝑞𝐺) → ∃!𝑝𝐺 𝑞 = (𝑃𝑝))
11083, 108, 84, 109syl3anc 1317 . . . 4 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑞𝐺) → ∃!𝑝𝐺 𝑞 = (𝑃𝑝))
11171, 1, 2, 77, 79, 64, 81, 102, 107, 110gsummptf1o 18090 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑞𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
112 mdetpmtr.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
113112, 39, 40, 8, 23, 13, 4, 35mdetleib 20113 . . . 4 (𝑀𝐵 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))))))
114113ad2antrl 759 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑞𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑞) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑞𝑥)𝑀𝑥)))))))
11526adantr 479 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅))
1161, 4ringass 18292 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑍𝑆)‘𝑃) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑍𝑆)‘𝑝) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))
11727, 115, 34, 59, 116syl13anc 1319 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))
11822adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘𝑃) = (𝑍‘(𝑆𝑃)))
119118, 29oveq12d 6443 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) = ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑝))))
1208, 23, 13zrhcofipsgn 19662 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ (𝑃𝑝) ∈ 𝐺) → ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) = (𝑍‘(𝑆‘(𝑃𝑝))))
12130, 107, 120syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) = (𝑍‘(𝑆‘(𝑃𝑝))))
12217adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑃𝐺)
12343, 13, 8psgnco 19652 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺𝑝𝐺) → (𝑆‘(𝑃𝑝)) = ((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝)))
12430, 122, 31, 123syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆‘(𝑃𝑝)) = ((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝)))
125124fveq2d 5990 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑍‘(𝑆‘(𝑃𝑝))) = (𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝))))
12623zrhrhm 19583 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
1277, 126syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
128127adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → 𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
129 1z 11147 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
130 neg1z 11153 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℤ
131 prssi 4196 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → {1, -1} ⊆ ℤ)
132129, 130, 131mp2an 703 . . . . . . . . . . 11 {1, -1} ⊆ ℤ
1338, 13psgnran 17648 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃𝐺) → (𝑆𝑃) ∈ {1, -1})
13430, 122, 133syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑃) ∈ {1, -1})
135132, 134sseldi 3470 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑃) ∈ ℤ)
1368, 13psgnran 17648 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑝) ∈ {1, -1})
13730, 31, 136syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑝) ∈ {1, -1})
138132, 137sseldi 3470 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑆𝑝) ∈ ℤ)
139 zringbas 19545 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘ℤring)
140 zringmulr 19548 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘ℤring)
141139, 140, 4rhmmul 18455 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ (𝑆𝑃) ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑝) ∈ ℤ) → (𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝))) = ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑝))))
142128, 135, 138, 141syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑍‘((𝑆𝑃) · (𝑆𝑝))) = ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑝))))
143121, 125, 1423eqtrrd 2553 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((𝑍‘(𝑆𝑃)) · (𝑍‘(𝑆𝑝))) = ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)))
144119, 143eqtrd 2548 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) = ((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)))
14546a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → 𝐸 = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ ((𝑃𝑖)𝑀𝑗)))
146 simprl 789 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑖 = (𝑝𝑥))
147146fveq2d 5990 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝑝𝑥)))
148 simpllr 794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑝𝐺)
14943, 8symgbasf 17517 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝𝐺𝑝:𝑁𝑁)
150 ffun 5846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝:𝑁𝑁 → Fun 𝑝)
151148, 149, 1503syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → Fun 𝑝)
152 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑥𝑁)
153 fdm 5849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝:𝑁𝑁 → dom 𝑝 = 𝑁)
154148, 149, 1533syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → dom 𝑝 = 𝑁)
155152, 154eleqtrrd 2595 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑥 ∈ dom 𝑝)
156 fvco 6067 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝑝𝑥 ∈ dom 𝑝) → ((𝑃𝑝)‘𝑥) = (𝑃‘(𝑝𝑥)))
157151, 155, 156syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → ((𝑃𝑝)‘𝑥) = (𝑃‘(𝑝𝑥)))
158147, 157eqtr4d 2551 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → (𝑃𝑖) = ((𝑃𝑝)‘𝑥))
159 simprr 791 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → 𝑗 = 𝑥)
160158, 159oveq12d 6443 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) ∧ (𝑖 = (𝑝𝑥) ∧ 𝑗 = 𝑥)) → ((𝑃𝑖)𝑀𝑗) = (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
161 ovex 6453 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥) ∈ V
162161a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥) ∈ V)
163145, 160, 45, 42, 162ovmpt2d 6562 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) ∧ 𝑥𝑁) → ((𝑝𝑥)𝐸𝑥) = (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))
164163mpteq2dva 4570 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)) = (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))
165164oveq2d 6441 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))) = ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))
166144, 165oveq12d 6443 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → ((((𝑍𝑆)‘𝑃) · ((𝑍𝑆)‘𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))) = (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
167117, 166eqtr3d 2550 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) ∧ 𝑝𝐺) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))) = (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))
168167mpteq2dva 4570 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))))) = (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥))))))
169168oveq2d 6441 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘(𝑃𝑝)) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ (((𝑃𝑝)‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
170111, 114, 1693eqtr4d 2558 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))))
171112, 39, 40, 8, 23, 13, 4, 35mdetleib 20113 . . . 4 (𝐸𝐵 → (𝐷𝐸) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))))))
17255, 171syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝐸) = (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥)))))))
173172oveq2d 6441 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝑅 Σg (𝑝𝐺 ↦ (((𝑍𝑆)‘𝑝) · ((mulGrp‘𝑅) Σg (𝑥𝑁 ↦ ((𝑝𝑥)𝐸𝑥))))))))
17470, 170, 1733eqtr4d 2558 1 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin) ∧ (𝑀𝐵𝑃𝐺)) → (𝐷𝑀) = (((𝑍𝑆)‘𝑃) · (𝐷𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938  ∃!wreu 2802  Vcvv 3077  wss 3444  {cpr 4030  cmpt 4541  dom cdm 4932  ccom 4936  Fun wfun 5683   Fn wfn 5684  wf 5685  cfv 5689  (class class class)co 6425  cmpt2 6427  Fincfn 7716  1c1 9691   · cmul 9695  -cneg 10017  cz 11117  Basecbs 15577  +gcplusg 15650  .rcmulr 15651  0gc0g 15805   Σg cgsu 15806  SymGrpcsymg 17510  pmSgncpsgn 17622  CMndccmn 17922  mulGrpcmgp 18217  Ringcrg 18275  CRingccrg 18276   RingHom crh 18440  ringzring 19539  ℤRHomczrh 19571   Mat cmat 19933   maDet cmdat 20110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722  ax-inf2 8296  ax-cnex 9746  ax-resscn 9747  ax-1cn 9748  ax-icn 9749  ax-addcl 9750  ax-addrcl 9751  ax-mulcl 9752  ax-mulrcl 9753  ax-mulcom 9754  ax-addass 9755  ax-mulass 9756  ax-distr 9757  ax-i2m1 9758  ax-1ne0 9759  ax-1rid 9760  ax-rnegex 9761  ax-rrecex 9762  ax-cnre 9763  ax-pre-lttri 9764  ax-pre-lttrn 9765  ax-pre-ltadd 9766  ax-pre-mulgt0 9767  ax-addf 9769  ax-mulf 9770
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-xor 1456  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-ot 4037  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6833  df-1st 6933  df-2nd 6934  df-supp 7057  df-tpos 7113  df-wrecs 7168  df-recs 7230  df-rdg 7268  df-1o 7322  df-2o 7323  df-oadd 7326  df-er 7504  df-map 7621  df-pm 7622  df-ixp 7670  df-en 7717  df-dom 7718  df-sdom 7719  df-fin 7720  df-fsupp 8034  df-sup 8106  df-oi 8173  df-card 8523  df-pnf 9830  df-mnf 9831  df-xr 9832  df-ltxr 9833  df-le 9834  df-sub 10018  df-neg 10019  df-div 10433  df-nn 10775  df-2 10833  df-3 10834  df-4 10835  df-5 10836  df-6 10837  df-7 10838  df-8 10839  df-9 10840  df-n0 11047  df-z 11118  df-dec 11233  df-uz 11427  df-rp 11574  df-fz 12065  df-fzo 12202  df-seq 12531  df-exp 12590  df-hash 12847  df-word 13011  df-lsw 13012  df-concat 13013  df-s1 13014  df-substr 13015  df-splice 13016  df-reverse 13017  df-s2 13301  df-struct 15579  df-ndx 15580  df-slot 15581  df-base 15582  df-sets 15583  df-ress 15584  df-plusg 15663  df-mulr 15664  df-starv 15665  df-sca 15666  df-vsca 15667  df-ip 15668  df-tset 15669  df-ple 15670  df-ds 15673  df-unif 15674  df-hom 15675  df-cco 15676  df-0g 15807  df-gsum 15808  df-prds 15813  df-pws 15815  df-mre 15959  df-mrc 15960  df-acs 15962  df-mgm 16955  df-sgrp 16997  df-mnd 17008  df-mhm 17048  df-submnd 17049  df-grp 17138  df-minusg 17139  df-mulg 17254  df-subg 17304  df-ghm 17371  df-gim 17414  df-cntz 17463  df-oppg 17489  df-symg 17511  df-pmtr 17575  df-psgn 17624  df-cmn 17924  df-abl 17925  df-mgp 18218  df-ur 18230  df-ring 18277  df-cring 18278  df-oppr 18351  df-dvdsr 18369  df-unit 18370  df-invr 18400  df-dvr 18411  df-rnghom 18443  df-drng 18477  df-subrg 18506  df-sra 18895  df-rgmod 18896  df-cnfld 19470  df-zring 19540  df-zrh 19575  df-dsmm 19796  df-frlm 19811  df-mat 19934  df-mdet 20111
This theorem is referenced by:  mdetpmtr2  29015  mdetpmtr12  29016
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