MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfif1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptfif1o 18348
Description: Re-index a finite group sum as map, using a bijection. (Contributed by by AV, 23-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptcl.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptcl.n (𝜑𝑁 ∈ Fin)
gsummptcl.e (𝜑 → ∀𝑖𝑁 𝑋𝐵)
gsummptfif1o.f 𝐹 = (𝑖𝑁𝑋)
gsummptfif1o.h (𝜑𝐻:𝐶1-1-onto𝑁)
Assertion
Ref Expression
gsummptfif1o (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐶(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐺(𝑖)   𝐻(𝑖)   𝑋(𝑖)

Proof of Theorem gsummptfif1o
StepHypRef Expression
1 gsummptcl.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2620 . 2 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3 gsummptcl.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 gsummptcl.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
5 gsummptcl.e . . 3 (𝜑 → ∀𝑖𝑁 𝑋𝐵)
6 gsummptfif1o.f . . . 4 𝐹 = (𝑖𝑁𝑋)
76fmpt 6367 . . 3 (∀𝑖𝑁 𝑋𝐵𝐹:𝑁𝐵)
85, 7sylib 208 . 2 (𝜑𝐹:𝑁𝐵)
9 fvexd 6190 . . 3 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ V)
108, 4, 9fdmfifsupp 8270 . 2 (𝜑𝐹 finSupp (0g𝐺))
11 gsummptfif1o.h . 2 (𝜑𝐻:𝐶1-1-onto𝑁)
121, 2, 3, 4, 8, 10, 11gsumf1o 18298 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = (𝐺 Σg (𝐹𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  Vcvv 3195  cmpt 4720  ccom 5108  wf 5872  1-1-ontowf1o 5875  cfv 5876  (class class class)co 6635  Fincfn 7940  Basecbs 15838  0gc0g 16081   Σg cgsu 16082  CMndccmn 18174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-hash 13101  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-cntz 17731  df-cmn 18176
This theorem is referenced by:  mdetleib2  20375  mdetralt  20395
  Copyright terms: Public domain W3C validator