MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgval 13683
Description: The value of the function in terms of the mapping 𝐺 from ω to 0. The proof avoids the use of ax-ac 9870. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
hashgval.1 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
Assertion
Ref Expression
hashgval (𝐴 ∈ Fin → (𝐺‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem hashgval
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resundir 5862 . . . . . 6 ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ Fin) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin))
2 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
3 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
42, 3hashkf 13682 . . . . . . . . 9 ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0
5 ffn 6508 . . . . . . . . 9 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin)
6 fnresdm 6460 . . . . . . . . 9 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card))
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . . 8 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
8 incom 4177 . . . . . . . . . 10 ((V ∖ Fin) ∩ Fin) = (Fin ∩ (V ∖ Fin))
9 disjdif 4419 . . . . . . . . . 10 (Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅
108, 9eqtri 2844 . . . . . . . . 9 ((V ∖ Fin) ∩ Fin) = ∅
11 pnfex 10683 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ V
1211fconst 6559 . . . . . . . . . 10 ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}
13 ffn 6508 . . . . . . . . . 10 (((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞} → ((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin))
14 fnresdisj 6461 . . . . . . . . . 10 (((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin) → (((V ∖ Fin) ∩ Fin) = ∅ ↔ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin) = ∅))
1512, 13, 14mp2b 10 . . . . . . . . 9 (((V ∖ Fin) ∩ Fin) = ∅ ↔ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin) = ∅)
1610, 15mpbi 231 . . . . . . . 8 (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin) = ∅
177, 16uneq12i 4136 . . . . . . 7 ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin)) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ∅)
18 un0 4343 . . . . . . 7 (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ∅) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
1917, 18eqtri 2844 . . . . . 6 ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
201, 19eqtri 2844 . . . . 5 ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ Fin) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
21 df-hash 13681 . . . . . 6 ♯ = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
2221reseq1i 5843 . . . . 5 (♯ ↾ Fin) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ Fin)
23 hashgval.1 . . . . . 6 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
2423coeq1i 5724 . . . . 5 (𝐺 ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
2520, 22, 243eqtr4i 2854 . . . 4 (♯ ↾ Fin) = (𝐺 ∘ card)
2625fveq1i 6665 . . 3 ((♯ ↾ Fin)‘𝐴) = ((𝐺 ∘ card)‘𝐴)
27 cardf2 9361 . . . . 5 card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦𝑥}⟶On
28 ffun 6511 . . . . 5 (card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦𝑥}⟶On → Fun card)
2927, 28ax-mp 5 . . . 4 Fun card
30 finnum 9366 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
31 fvco 6753 . . . 4 ((Fun card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((𝐺 ∘ card)‘𝐴) = (𝐺‘(card‘𝐴)))
3229, 30, 31sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ((𝐺 ∘ card)‘𝐴) = (𝐺‘(card‘𝐴)))
3326, 32syl5eq 2868 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((♯ ↾ Fin)‘𝐴) = (𝐺‘(card‘𝐴)))
34 fvres 6683 . 2 (𝐴 ∈ Fin → ((♯ ↾ Fin)‘𝐴) = (♯‘𝐴))
3533, 34eqtr3d 2858 1 (𝐴 ∈ Fin → (𝐺‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1528  wcel 2105  {cab 2799  wrex 3139  Vcvv 3495  cdif 3932  cun 3933  cin 3934  c0 4290  {csn 4559   class class class wbr 5058  cmpt 5138   × cxp 5547  dom cdm 5549  cres 5551  ccom 5553  Oncon0 6185  Fun wfun 6343   Fn wfn 6344  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7145  ωcom 7568  reccrdg 8036  cen 8495  Fincfn 8498  cardccrd 9353  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  +∞cpnf 10661  0cn0 11886  chash 13680
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-hash 13681
This theorem is referenced by:  hashginv  13684  hashfz1  13696  hashen  13697  hashcard  13706  hashcl  13707  hashgval2  13729  hashdom  13730  hashun  13733  fz1isolem  13809
  Copyright terms: Public domain W3C validator