Theorem hashgval 13696

Description: The value of the ♯ function in terms of the mapping 𝐺 from ω to ℕ₀. The proof avoids the use of ax-ac 9883. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
hashgval.1	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)

Assertion

Ref	Expression
hashgval	⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐺‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem hashgval

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resundir 5870	. . . . . 6 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ Fin) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin))
2		eqid 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
3		eqid 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
4	2, 3	hashkf 13695	. . . . . . . . 9 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0
5		ffn 6516	. . . . . . . . 9 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card):Fin⟶ℕ0 → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin)
6		fnresdm 6468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) Fn Fin → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card))
7	4, 5, 6	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
8		incom 4180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((V ∖ Fin) ∩ Fin) = (Fin ∩ (V ∖ Fin))
9		disjdif 4423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fin ∩ (V ∖ Fin)) = ∅
10	8, 9	eqtri 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((V ∖ Fin) ∩ Fin) = ∅
11		pnfex 10696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ +∞ ∈ V
12	11	fconst 6567	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞}
13		ffn 6516	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}):(V ∖ Fin)⟶{+∞} → ((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin))
14		fnresdisj 6469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}) Fn (V ∖ Fin) → (((V ∖ Fin) ∩ Fin) = ∅ ↔ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin) = ∅))
15	12, 13, 14	mp2b 10	. . . . . . . . 9 ⊢ (((V ∖ Fin) ∩ Fin) = ∅ ↔ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin) = ∅)
16	10, 15	mpbi 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin) = ∅
17	7, 16	uneq12i 4139	. . . . . . 7 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin)) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ∅)
18		un0 4346	. . . . . . 7 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ∅) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
19	17, 18	eqtri 2846	. . . . . 6 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ↾ Fin) ∪ (((V ∖ Fin) × {+∞}) ↾ Fin)) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
20	1, 19	eqtri 2846	. . . . 5 ⊢ ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ Fin) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
21		df-hash 13694	. . . . . 6 ⊢ ♯ = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞}))
22	21	reseq1i 5851	. . . . 5 ⊢ (♯ ↾ Fin) = ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card) ∪ ((V ∖ Fin) × {+∞})) ↾ Fin)
23		hashgval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
24	23	coeq1i 5732	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∘ card) = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) ∘ card)
25	20, 22, 24	3eqtr4i 2856	. . . 4 ⊢ (♯ ↾ Fin) = (𝐺 ∘ card)
26	25	fveq1i 6673	. . 3 ⊢ ((♯ ↾ Fin)‘𝐴) = ((𝐺 ∘ card)‘𝐴)
27		cardf2 9374	. . . . 5 ⊢ card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On
28		ffun 6519	. . . . 5 ⊢ (card:{𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ On 𝑦 ≈ 𝑥}⟶On → Fun card)
29	27, 28	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ Fun card
30		finnum 9379	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐴 ∈ dom card)
31		fvco 6761	. . . 4 ⊢ ((Fun card ∧ 𝐴 ∈ dom card) → ((𝐺 ∘ card)‘𝐴) = (𝐺‘(card‘𝐴)))
32	29, 30, 31	sylancr 589	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((𝐺 ∘ card)‘𝐴) = (𝐺‘(card‘𝐴)))
33	26, 32	syl5eq 2870	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯ ↾ Fin)‘𝐴) = (𝐺‘(card‘𝐴)))
34		fvres 6691	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ((♯ ↾ Fin)‘𝐴) = (♯‘𝐴))
35	33, 34	eqtr3d 2860	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐺‘(card‘𝐴)) = (♯‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {cab 2801  ∃wrex 3141  Vcvv 3496   ∖ cdif 3935   ∪ cun 3936   ∩ cin 3937  ∅c0 4293  {csn 4569   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148   × cxp 5555  dom cdm 5557   ↾ cres 5559   ∘ ccom 5561  Oncon0 6193  Fun wfun 6351   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ωcom 7582  reccrdg 8047   ≈ cen 8508  Fincfn 8511  cardccrd 9366  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542  +∞cpnf 10674  ℕ₀cn0 11900  ♯chash 13693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-hash 13694

This theorem is referenced by:  hashginv  13697  hashfz1  13709  hashen  13710  hashcard  13719  hashcl  13720  hashgval2  13742  hashdom  13743  hashun  13746  fz1isolem  13822