HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  his35 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem his35 27785
Description: Move scalar multiplication to outside of inner product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
his35 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · 𝐶) ·ih (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 ·ih 𝐷)))

Proof of Theorem his35
StepHypRef Expression
1 his5 27783 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih (𝐵 · 𝐷)) = ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷)))
213expb 1263 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 ·ih (𝐵 · 𝐷)) = ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷)))
32adantll 749 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 ·ih (𝐵 · 𝐷)) = ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷)))
43oveq2d 6621 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 · (𝐶 ·ih (𝐵 · 𝐷))) = (𝐴 · ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷))))
5 simpll 789 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6 simprl 793 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → 𝐶 ∈ ℋ)
7 hvmulcl 27710 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℋ)
87ad2ant2l 781 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℋ)
9 ax-his3 27781 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ (𝐵 · 𝐷) ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐶) ·ih (𝐵 · 𝐷)) = (𝐴 · (𝐶 ·ih (𝐵 · 𝐷))))
105, 6, 8, 9syl3anc 1323 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · 𝐶) ·ih (𝐵 · 𝐷)) = (𝐴 · (𝐶 ·ih (𝐵 · 𝐷))))
11 cjcl 13774 . . . 4 (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
1211ad2antlr 762 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
13 hicl 27777 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih 𝐷) ∈ ℂ)
1413adantl 482 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 ·ih 𝐷) ∈ ℂ)
155, 12, 14mulassd 10008 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 ·ih 𝐷)) = (𝐴 · ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷))))
164, 10, 153eqtr4d 2670 1 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · 𝐶) ·ih (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 ·ih 𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879   · cmul 9886  ccj 13765  chil 27616   · csm 27618   ·ih csp 27619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-hfvmul 27702  ax-hfi 27776  ax-his1 27779  ax-his3 27781
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-2 11024  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770
This theorem is referenced by:  his35i  27786  pjhthlem1  28090
  Copyright terms: Public domain W3C validator