Theorem his35 27785

Description: Move scalar multiplication to outside of inner product. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
his35	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 ·ih 𝐷)))

Proof of Theorem his35

Step	Hyp	Ref	Expression
1		his5 27783	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷)))
2	1	3expb 1263	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷)))
3	2	adantll 749	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷)))
4	3	oveq2d 6621	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 · (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷))) = (𝐴 · ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷))))
5		simpll 789	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
6		simprl 793	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → 𝐶 ∈ ℋ)
7		hvmulcl 27710	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
8	7	ad2ant2l 781	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐵 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ)
9		ax-his3 27781	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ (𝐵 ·ℎ 𝐷) ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = (𝐴 · (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷))))
10	5, 6, 8, 9	syl3anc 1323	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = (𝐴 · (𝐶 ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷))))
11		cjcl 13774	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
12	11	ad2antlr 762	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
13		hicl 27777	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih 𝐷) ∈ ℂ)
14	13	adantl 482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐶 ·ih 𝐷) ∈ ℂ)
15	5, 12, 14	mulassd 10008	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 ·ih 𝐷)) = (𝐴 · ((∗‘𝐵) · (𝐶 ·ih 𝐷))))
16	4, 10, 15	3eqtr4d 2670	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ·ℎ 𝐶) ·ih (𝐵 ·ℎ 𝐷)) = ((𝐴 · (∗‘𝐵)) · (𝐶 ·ih 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1992  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  ℂcc 9879   · cmul 9886  ∗ccj 13765   ℋchil 27616   ·_ℎ csm 27618   ·_ih csp 27619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-hfvmul 27702  ax-hfi 27776  ax-his1 27779  ax-his3 27781

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-2 11024  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770

This theorem is referenced by:  his35i  27786  pjhthlem1  28090