HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  his5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem his5 27913
Description: Associative law for inner product. Lemma 3.1(S5) of [Beran] p. 95. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
his5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐴 · 𝐶)) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem his5
StepHypRef Expression
1 hvmulcl 27840 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ)
2 ax-his1 27909 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐴 · 𝐶)) = (∗‘((𝐴 · 𝐶) ·ih 𝐵)))
31, 2sylan2 491 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → (𝐵 ·ih (𝐴 · 𝐶)) = (∗‘((𝐴 · 𝐶) ·ih 𝐵)))
433impb 1258 . . 3 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐴 · 𝐶)) = (∗‘((𝐴 · 𝐶) ·ih 𝐵)))
543com12 1267 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐴 · 𝐶)) = (∗‘((𝐴 · 𝐶) ·ih 𝐵)))
6 ax-his3 27911 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐶) ·ih 𝐵) = (𝐴 · (𝐶 ·ih 𝐵)))
763com23 1269 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐶) ·ih 𝐵) = (𝐴 · (𝐶 ·ih 𝐵)))
87fveq2d 6182 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (∗‘((𝐴 · 𝐶) ·ih 𝐵)) = (∗‘(𝐴 · (𝐶 ·ih 𝐵))))
9 hicl 27907 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
10 cjmul 13863 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ·ih 𝐵) ∈ ℂ) → (∗‘(𝐴 · (𝐶 ·ih 𝐵))) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(𝐶 ·ih 𝐵))))
119, 10sylan2 491 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → (∗‘(𝐴 · (𝐶 ·ih 𝐵))) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(𝐶 ·ih 𝐵))))
12113impb 1258 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (∗‘(𝐴 · (𝐶 ·ih 𝐵))) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(𝐶 ·ih 𝐵))))
13123com23 1269 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (∗‘(𝐴 · (𝐶 ·ih 𝐵))) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(𝐶 ·ih 𝐵))))
14 ax-his1 27909 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐶) = (∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)))
15143adant1 1077 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih 𝐶) = (∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)))
1615oveq2d 6651 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((∗‘𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐶)) = ((∗‘𝐴) · (∗‘(𝐶 ·ih 𝐵))))
1713, 16eqtr4d 2657 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (∗‘(𝐴 · (𝐶 ·ih 𝐵))) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐶)))
185, 8, 173eqtrd 2658 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐴 · 𝐶)) = ((∗‘𝐴) · (𝐵 ·ih 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919   · cmul 9926  ccj 13817  chil 27746   · csm 27748   ·ih csp 27749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-hfvmul 27832  ax-hfi 27906  ax-his1 27909  ax-his3 27911
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-2 11064  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822
This theorem is referenced by:  his52  27914  his35  27915  normlem0  27936  normlem9  27945  bcseqi  27947  polid2i  27984  pjhthlem1  28220  eigrei  28663  eigposi  28665  eigorthi  28666  brafnmul  28780  lnopunilem1  28839  hmopm  28850  cnlnadjlem6  28901  adjlnop  28915
  Copyright terms: Public domain W3C validator