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Theorem pjhthlem1 28378
Description: Lemma for pjhth 28380. (Contributed by NM, 10-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjhth.1 𝐻C
pjhth.2 (𝜑𝐴 ∈ ℋ)
pjhth.3 (𝜑𝐵𝐻)
pjhth.4 (𝜑𝐶𝐻)
pjhth.5 (𝜑 → ∀𝑥𝐻 (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑥)))
pjhth.6 𝑇 = (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
Assertion
Ref Expression
pjhthlem1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐻   𝑥,𝑇
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem pjhthlem1
StepHypRef Expression
1 pjhth.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℋ)
2 pjhth.3 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐻)
3 pjhth.1 . . . . . 6 𝐻C
43cheli 28217 . . . . 5 (𝐵𝐻𝐵 ∈ ℋ)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℋ)
6 hvsubcl 28002 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 𝐵) ∈ ℋ)
71, 5, 6syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) ∈ ℋ)
8 pjhth.4 . . . 4 (𝜑𝐶𝐻)
93cheli 28217 . . . 4 (𝐶𝐻𝐶 ∈ ℋ)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℋ)
11 hicl 28065 . . 3 (((𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
127, 10, 11syl2anc 694 . 2 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
1312abscld 14219 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) ∈ ℝ)
1413recnd 10106 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) ∈ ℂ)
1513resqcld 13075 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
1615renegcld 10495 . . . . . 6 (𝜑 → -((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ)
17 hiidrcl 28080 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ)
1810, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ)
19 2re 11128 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
20 readdcl 10057 . . . . . . 7 (((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
2118, 19, 20sylancl 695 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
22 0red 10079 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
23 peano2re 10247 . . . . . . . 8 ((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℝ → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ)
2418, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ)
25 hiidge0 28083 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐶 ·ih 𝐶))
2610, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (𝐶 ·ih 𝐶))
2718ltp1d 10992 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 ·ih 𝐶) < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
2822, 18, 24, 26, 27lelttrd 10233 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
2924ltp1d 10992 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) < (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1))
3018recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
31 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
32 addass 10061 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1)))
3331, 31, 32mp3an23 1456 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1)))
3430, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1)))
35 df-2 11117 . . . . . . . . . 10 2 = (1 + 1)
3635oveq2i 6701 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + (1 + 1))
3734, 36syl6reqr 2704 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) = (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1))
3829, 37breqtrrd 4713 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))
3922, 24, 21, 28, 38lttrd 10236 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))
403chshii 28212 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐻S
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐻S )
42 pjhth.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑇 = (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
4324recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℂ)
4418, 26ge0p1rpd 11940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ+)
4544rpne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ≠ 0)
4612, 43, 45divcld 10839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) ∈ ℂ)
4742, 46syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
48 shmulcl 28203 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐻S𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝐻) → (𝑇 · 𝐶) ∈ 𝐻)
4941, 47, 8, 48syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 · 𝐶) ∈ 𝐻)
50 shaddcl 28202 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐻S𝐵𝐻 ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ 𝐻) → (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)) ∈ 𝐻)
5141, 2, 49, 50syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)) ∈ 𝐻)
52 pjhth.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥𝐻 (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑥)))
53 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)) → (𝐴 𝑥) = (𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶))))
5453fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)) → (norm‘(𝐴 𝑥)) = (norm‘(𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)))))
5554breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)) → ((norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑥)) ↔ (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘(𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶))))))
5655rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 + (𝑇 · 𝐶)) ∈ 𝐻 → (∀𝑥𝐻 (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘(𝐴 𝑥)) → (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘(𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶))))))
5751, 52, 56sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘(𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)))))
583cheli 28217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 · 𝐶) ∈ 𝐻 → (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ)
5949, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ)
60 hvsubass 28029 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) = (𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶))))
611, 5, 59, 60syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) = (𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶))))
6261fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = (norm‘(𝐴 (𝐵 + (𝑇 · 𝐶)))))
6357, 62breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))))
64 normcl 28110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 𝐵) ∈ ℋ → (norm‘(𝐴 𝐵)) ∈ ℝ)
657, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (norm‘(𝐴 𝐵)) ∈ ℝ)
66 hvsubcl 28002 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℋ)
677, 59, 66syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℋ)
68 normcl 28110 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℋ → (norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) ∈ ℝ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) ∈ ℝ)
70 normge0 28111 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝐴 𝐵)))
717, 70syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (norm‘(𝐴 𝐵)))
7222, 65, 69, 71, 63letrd 10232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))))
7365, 69, 71, 72le2sqd 13084 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ (norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) ↔ ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) ≤ ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2)))
7463, 73mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) ≤ ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2))
7569resqcld 13075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) ∈ ℝ)
7665resqcld 13075 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) ∈ ℝ)
7775, 76subge0d 10655 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 ≤ (((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) ↔ ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) ≤ ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2)))
7874, 77mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)))
79 2z 11447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
80 rpexpcl 12919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
8144, 79, 80sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ+)
8215, 81rerpdivcld 11941 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) ∈ ℝ)
8382, 21remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℝ)
8483recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℂ)
8584negcld 10417 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℂ)
86 hicl 28065 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
877, 7, 86syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
8885, 87pncand 10431 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((-((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))) = -((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
89 normsq 28119 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℋ → ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) = (((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))))
9067, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) = (((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))))
91 his2sub 28077 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ ∧ ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℋ) → (((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = (((𝐴 𝐵) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))))
927, 59, 67, 91syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = (((𝐴 𝐵) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))))
93 his2sub2 28078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶))))
947, 7, 59, 93syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶))))
9594oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))) = ((((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶))) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))))
96 hicl 28065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℂ)
977, 59, 96syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℂ)
98 his2sub2 28078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = (((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶))))
9959, 7, 59, 98syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = (((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶))))
100 hicl 28065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℋ) → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
10159, 7, 100syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)) ∈ ℂ)
102 hicl 28065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ) → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℂ)
10359, 59, 102syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℂ)
104101, 103subcld 10430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶))) ∈ ℂ)
10599, 104eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) ∈ ℂ)
10687, 97, 105subsub4d 10461 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶))) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))) = (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − (((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) + ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))))))
10782recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) ∈ ℂ)
10831a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
109107, 43, 108adddid 10102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1)) = (((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) + ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1)))
11037oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) + 1)))
111 his5 28071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ (𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((∗‘𝑇) · ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)))
11247, 7, 10, 111syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((∗‘𝑇) · ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)))
11347cjcld 13980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (∗‘𝑇) ∈ ℂ)
114113, 12mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((∗‘𝑇) · ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) = (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘𝑇)))
11512cjcld 13980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) ∈ ℂ)
11612, 115, 43, 45divassd 10874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · ((∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
11712absvalsqd 14225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))))
118117oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
11942fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∗‘𝑇) = (∗‘(((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
12012, 43, 45cjdivd 14007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (∗‘(((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / (∗‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
12124cjred 14010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (∗‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
122121oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / (∗‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
123120, 122eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (∗‘(((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
124119, 123syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (∗‘𝑇) = ((∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
125124oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘𝑇)) = (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · ((∗‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
126116, 118, 1253eqtr4rd 2696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) · (∗‘𝑇)) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
127112, 114, 1263eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
12815recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℂ)
129128, 43mulcomd 10099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)))
13043sqvald 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) = (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
131129, 130oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
132128, 43, 43, 45, 45divcan5d 10865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
133131, 132eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
13424resqcld 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℝ)
135134recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ∈ ℂ)
13681rpne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2) ≠ 0)
137128, 43, 135, 136div23d 10876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
138127, 133, 1373eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
13982, 24remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) ∈ ℝ)
140138, 139eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℝ)
141 hire 28079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 𝐵) ∈ ℋ ∧ (𝑇 · 𝐶) ∈ ℋ) → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵))))
1427, 59, 141syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) ∈ ℝ ↔ ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵))))
143140, 142mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)))
144143, 138eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
145 his35 28073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ)) → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
14647, 47, 10, 10, 145syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
14742fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (abs‘𝑇) = (abs‘(((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
14812, 43, 45absdivd 14238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / (abs‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))))
14944rpge0d 11914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → 0 ≤ ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
15024, 149absidd 14205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (abs‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) = ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))
151150oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / (abs‘((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
152148, 151eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (abs‘(((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))) = ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
153147, 152syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (abs‘𝑇) = ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)))
154153oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))↑2))
15547absvalsqd 14225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((abs‘𝑇)↑2) = (𝑇 · (∗‘𝑇)))
15614, 43, 45sqdivd 13061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) / ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1))↑2) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
157154, 155, 1563eqtr3d 2693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑇 · (∗‘𝑇)) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
158157oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑇 · (∗‘𝑇)) · (𝐶 ·ih 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
159146, 158eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶)))
160144, 159oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih (𝑇 · 𝐶))) = (((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶))))
161 pncan2 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐶 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶)) = 1)
16230, 31, 161sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶)) = 1)
163162oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶))) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1))
164107, 43, 30subdid 10524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1) − (𝐶 ·ih 𝐶))) = (((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶))))
165163, 164eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1) = (((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) − ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · (𝐶 ·ih 𝐶))))
166160, 99, 1653eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1))
167138, 166oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) + ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))) = (((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)) + ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · 1)))
168109, 110, 1673eqtr4rd 2696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) + ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
169168oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − (((𝐴 𝐵) ·ih (𝑇 · 𝐶)) + ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))))) = (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
17095, 106, 1693eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶))) − ((𝑇 · 𝐶) ·ih ((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))) = (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
17190, 92, 1703eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) = (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
17287, 84negsubd 10436 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) + -((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))) = (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) − ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))))
17387, 85addcomd 10276 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) + -((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2))) = (-((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))))
174171, 172, 1733eqtr2d 2691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) = (-((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))))
175 normsq 28119 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 𝐵) ∈ ℋ → ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)))
1767, 175syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)))
177174, 176oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) = ((-((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) + ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))) − ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵))))
17821renegcld 10495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ)
179178recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ)
180128, 179, 135, 136div23d 10876 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
18121recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ)
182107, 181mulneg2d 10522 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = -((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
183180, 182eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = -((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
18488, 177, 1833eqtr4rd 2696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)) = (((norm‘((𝐴 𝐵) − (𝑇 · 𝐶)))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)))
18578, 184breqtrrd 4713 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2)))
18615, 178remulcld 10108 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ∈ ℝ)
187186, 81ge0divd 11948 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) ↔ 0 ≤ ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) / (((𝐶 ·ih 𝐶) + 1)↑2))))
188185, 187mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
189 mulneg12 10506 . . . . . . . 8 ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℂ) → (-((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
190128, 181, 189syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (-((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)) = (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · -((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
191188, 190breqtrrd 4713 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (-((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))
192 prodge02 10909 . . . . . 6 (((-((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ ∧ ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∈ ℝ) ∧ (0 < ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2) ∧ 0 ≤ (-((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) · ((𝐶 ·ih 𝐶) + 2)))) → 0 ≤ -((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))
19316, 21, 39, 191, 192syl22anc 1367 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ -((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))
19415le0neg1d 10637 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2)))
195193, 194mpbird 247 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0)
19613sqge0d 13076 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))
197 0re 10078 . . . . 5 0 ∈ ℝ
198 letri3 10161 . . . . 5 ((((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = 0 ↔ (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))))
19915, 197, 198sylancl 695 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = 0 ↔ (((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) ≤ 0 ∧ 0 ≤ ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2))))
200195, 196, 199mpbir2and 977 . . 3 (𝜑 → ((abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶))↑2) = 0)
20114, 200sqeq0d 13047 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶)) = 0)
20212, 201abs00d 14229 1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) ·ih 𝐶) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  2c2 11108  cz 11415  +crp 11870  cexp 12900  ccj 13880  abscabs 14018  chil 27904   + cva 27905   · csm 27906   ·ih csp 27907  normcno 27908   cmv 27910   S csh 27913   C cch 27914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hfvmul 27990  ax-hvdistr1 27993  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-hnorm 27953  df-hvsub 27956  df-sh 28192  df-ch 28206
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