Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopadj2 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: An operator is Hermitian iff it is self-adjoint. Definition of Hermitian in [Halmos] p. 41. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopadj 28926 . 2 (𝑇 ∈ HrmOp → (adj𝑇) = 𝑇)
2 dmadjop 28875 . . . . 5 (𝑇 ∈ dom adj𝑇: ℋ⟶ ℋ)
32adantr 480 . . . 4 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (adj𝑇) = 𝑇) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
4 adj1 28920 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = (((adj𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
543expb 1285 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = (((adj𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
65adantlr 751 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ dom adj ∧ (adj𝑇) = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = (((adj𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
7 fveq1 6228 . . . . . . . 8 ((adj𝑇) = 𝑇 → ((adj𝑇)‘𝑥) = (𝑇𝑥))
87oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((adj𝑇) = 𝑇 → (((adj𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))
98ad2antlr 763 . . . . . 6 (((𝑇 ∈ dom adj ∧ (adj𝑇) = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((adj𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))
106, 9eqtrd 2685 . . . . 5 (((𝑇 ∈ dom adj ∧ (adj𝑇) = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))
1110ralrimivva 3000 . . . 4 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (adj𝑇) = 𝑇) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦))
12 elhmop 28860 . . . 4 (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇𝑦)) = ((𝑇𝑥) ·ih 𝑦)))
133, 11, 12sylanbrc 699 . . 3 ((𝑇 ∈ dom adj ∧ (adj𝑇) = 𝑇) → 𝑇 ∈ HrmOp)
1413ex 449 . 2 (𝑇 ∈ dom adj → ((adj𝑇) = 𝑇𝑇 ∈ HrmOp))
151, 14impbid2 216 1 (𝑇 ∈ dom adj → (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (adj𝑇) = 𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  dom cdm 5143  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ℋchil 27904   ·ih csp 27907  HrmOpcho 27935  adjℎcado 27940 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-hvsub 27956  df-hmop 28831  df-adjh 28836 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator