MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmulclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fmulclem 23557
Description: Decompose the preimage of a constant times a function. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fmulc.2 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
i1fmulclem (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}))

Proof of Theorem i1fmulclem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 10108 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
21a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ ∈ V)
3 i1fmulc.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 i1fmulc.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
5 i1ff 23531 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
7 ffn 6126 . . . . . . . . . 10 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
86, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
9 eqidd 2693 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
102, 3, 8, 9ofc1 7005 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) = (𝐴 · (𝐹𝑧)))
1110adantlr 753 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) = (𝐴 · (𝐹𝑧)))
1211adantlr 753 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) = (𝐴 · (𝐹𝑧)))
1312eqeq1d 2694 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵 ↔ (𝐴 · (𝐹𝑧)) = 𝐵))
14 eqcom 2699 . . . . . 6 ((𝐹𝑧) = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐹𝑧))
15 simplr 809 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
1615recnd 10149 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
173ad3antrrr 768 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
1817recnd 10149 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
196ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2019ffvelrnda 6442 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
2120recnd 10149 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
22 simpllr 817 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
2316, 18, 21, 22divmuld 10904 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐵 / 𝐴) = (𝐹𝑧) ↔ (𝐴 · (𝐹𝑧)) = 𝐵))
2414, 23syl5bb 272 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧) = (𝐵 / 𝐴) ↔ (𝐴 · (𝐹𝑧)) = 𝐵))
2513, 24bitr4d 271 . . . 4 ((((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵 ↔ (𝐹𝑧) = (𝐵 / 𝐴)))
2625pm5.32da 676 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) = (𝐵 / 𝐴))))
27 remulcl 10102 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
2827adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
29 fconstg 6173 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
303, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶{𝐴})
313snssd 4416 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝐴} ⊆ ℝ)
3230, 31fssd 6138 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ × {𝐴}):ℝ⟶ℝ)
33 inidm 3898 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
3428, 32, 6, 2, 2, 33off 6997 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
3534ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
36 ffn 6126 . . . . 5 (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶ℝ → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) Fn ℝ)
3735, 36syl 17 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) Fn ℝ)
38 fniniseg 6421 . . . 4 (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) Fn ℝ → (𝑧 ∈ (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵)))
3937, 38syl 17 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑧) = 𝐵)))
4019, 7syl 17 . . . 4 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn ℝ)
41 fniniseg 6421 . . . 4 (𝐹 Fn ℝ → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) = (𝐵 / 𝐴))))
4240, 41syl 17 . . 3 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) = (𝐵 / 𝐴))))
4326, 39, 423bitr4d 300 . 2 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝐵}) ↔ 𝑧 ∈ (𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)})))
4443eqrdv 2690 1 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵 / 𝐴)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1564  wcel 2071  wne 2864  Vcvv 3272  {csn 4253   × cxp 5184  ccnv 5185  dom cdm 5186  cima 5189   Fn wfn 5964  wf 5965  cfv 5969  (class class class)co 6733  𝑓 cof 6980  cr 10016  0cc0 10017   · cmul 10022   / cdiv 10765  1citg1 23472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-rep 4847  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rmo 2990  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-op 4260  df-uni 4513  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-id 5096  df-po 5107  df-so 5108  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-of 6982  df-er 7830  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-div 10766  df-sum 14505  df-itg1 23477
This theorem is referenced by:  i1fmulc  23558  itg1mulc  23559
  Copyright terms: Public domain W3C validator