MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1mulc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1mulc 23394
Description: The integral of a constant times a simple function is the constant times the original integral. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
i1fmulc.2 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
i1fmulc.3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
itg1mulc (𝜑 → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1𝐹)))

Proof of Theorem itg1mulc
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10 23378 . . 3 (∫1‘(ℝ × {0})) = 0
2 reex 9979 . . . . . 6 ℝ ∈ V
32a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 0) → ℝ ∈ V)
4 i1fmulc.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ dom ∫1)
5 i1ff 23366 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
76adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
8 i1fmulc.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 0red 9993 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 0) → 0 ∈ ℝ)
11 simplr 791 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 = 0)
1211oveq1d 6625 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
13 mul02lem2 10165 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (0 · 𝑥) = 0)
1413adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
1512, 14eqtrd 2655 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑥) = 0)
163, 7, 9, 10, 15caofid2 6888 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) = (ℝ × {0}))
1716fveq2d 6157 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (∫1‘(ℝ × {0})))
18 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
1918oveq1d 6625 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝐴 · (∫1𝐹)) = (0 · (∫1𝐹)))
20 itg1cl 23375 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) ∈ ℝ)
214, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫1𝐹) ∈ ℝ)
2221recnd 10020 . . . . . 6 (𝜑 → (∫1𝐹) ∈ ℂ)
2322mul02d 10186 . . . . 5 (𝜑 → (0 · (∫1𝐹)) = 0)
2423adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 0) → (0 · (∫1𝐹)) = 0)
2519, 24eqtrd 2655 . . 3 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝐴 · (∫1𝐹)) = 0)
261, 17, 253eqtr4a 2681 . 2 ((𝜑𝐴 = 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1𝐹)))
274, 8i1fmulc 23393 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1)
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1)
29 i1ff 23366 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶ℝ)
31 frn 6015 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶ℝ → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ⊆ ℝ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ⊆ ℝ)
3332ssdifssd 3731 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ)
3433sselda 3587 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑚 ∈ ℝ)
3534recnd 10020 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑚 ∈ ℂ)
368adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
3736recnd 10020 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
3837adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
39 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
4035, 38, 39divcan2d 10755 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝐴 · (𝑚 / 𝐴)) = 𝑚)
414, 8i1fmulclem 23392 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑚}) = (𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))
4234, 41syldan 487 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑚}) = (𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))
4342fveq2d 6157 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑚})) = (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))
4443eqcomd 2627 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) = (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑚})))
4540, 44oveq12d 6628 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝐴 · (𝑚 / 𝐴)) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))) = (𝑚 · (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑚}))))
468ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℝ)
4734, 46, 39redivcld 10805 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ∈ ℝ)
4847recnd 10020 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ∈ ℂ)
494ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
5046recnd 10020 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
51 eldifsni 4294 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑚 ≠ 0)
5251adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑚 ≠ 0)
5335, 50, 52, 39divne0d 10769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ≠ 0)
54 eldifsn 4292 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((𝑚 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑚 / 𝐴) ≠ 0))
5547, 53, 54sylanbrc 697 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0}))
56 i1fima2sn 23370 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ (𝑚 / 𝐴) ∈ (ℝ ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
5749, 55, 56syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) ∈ ℝ)
5857recnd 10020 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})) ∈ ℂ)
5938, 48, 58mulassd 10015 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝐴 · (𝑚 / 𝐴)) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))) = (𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
6045, 59eqtr3d 2657 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑚 · (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑚}))) = (𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
6160sumeq2dv 14375 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑚}))) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})(𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
62 i1frn 23367 . . . . . . 7 (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1 → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ Fin)
6328, 62syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ Fin)
64 difss 3720 . . . . . 6 (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)
65 ssfi 8132 . . . . . 6 ((ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ Fin ∧ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∈ Fin)
6663, 64, 65sylancl 693 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∈ Fin)
6748, 58mulcld 10012 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))) ∈ ℂ)
6866, 37, 67fsummulc2 14455 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})(𝐴 · ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
6961, 68eqtr4d 2658 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑚}))) = (𝐴 · Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
70 itg1val 23373 . . . 4 (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1 → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑚}))))
7128, 70syl 17 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})(𝑚 · (vol‘(((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) “ {𝑚}))))
724adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐹 ∈ dom ∫1)
73 itg1val 23373 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
7472, 73syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (∫1𝐹) = Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))))
75 id 22 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → 𝑘 = (𝑚 / 𝐴))
76 sneq 4163 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → {𝑘} = {(𝑚 / 𝐴)})
7776imaeq2d 5430 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → (𝐹 “ {𝑘}) = (𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))
7877fveq2d 6157 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) = (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))
7975, 78oveq12d 6628 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑚 / 𝐴) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = ((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))))
80 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴)) = (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))
81 eldifi 3715 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))
822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℝ ∈ V)
83 ffn 6007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
846, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
85 eqidd 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦))
8682, 8, 84, 85ofc1 6880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) = (𝐴 · (𝐹𝑦)))
8786adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) = (𝐴 · (𝐹𝑦)))
8887oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) = ((𝐴 · (𝐹𝑦)) / 𝐴))
896adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
9089ffvelrnda 6320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
9190recnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
9237adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
93 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ≠ 0)
9491, 92, 93divcan3d 10758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐴 · (𝐹𝑦)) / 𝐴) = (𝐹𝑦))
9588, 94eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) = (𝐹𝑦))
9689, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐹 Fn ℝ)
97 fnfvelrn 6317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ran 𝐹)
9896, 97sylan 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ran 𝐹)
9995, 98eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
10099ralrimiva 2961 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
101 ffn 6007 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹):ℝ⟶ℝ → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) Fn ℝ)
10230, 101syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) Fn ℝ)
103 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) → (𝑛 / 𝐴) = ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴))
104103eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) → ((𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
105104ralrn 6323 . . . . . . . . . . . 12 (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) Fn ℝ → (∀𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
106102, 105syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (∀𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) / 𝐴) ∈ ran 𝐹))
107100, 106mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ∀𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)(𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
108107r19.21bi 2927 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) → (𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
10981, 108sylan2 491 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹)
11033sselda 3587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ ℝ)
111110recnd 10020 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ ℂ)
11237adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
113 eldifsni 4294 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) → 𝑛 ≠ 0)
114113adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ≠ 0)
115 simplr 791 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
116111, 112, 114, 115divne0d 10769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑛 / 𝐴) ≠ 0)
117 eldifsn 4292 . . . . . . . 8 ((𝑛 / 𝐴) ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) ↔ ((𝑛 / 𝐴) ∈ ran 𝐹 ∧ (𝑛 / 𝐴) ≠ 0))
118109, 116, 117sylanbrc 697 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → (𝑛 / 𝐴) ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))
119 eldifi 3715 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑘 ∈ ran 𝐹)
120 fnfvelrn 6317 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) Fn ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))
121102, 120sylan 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)‘𝑦) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))
12287, 121eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))
123122ralrimiva 2961 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))
124 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝐹𝑦) → (𝐴 · 𝑘) = (𝐴 · (𝐹𝑦)))
125124eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝐹𝑦) → ((𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ↔ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)))
126125ralrn 6323 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn ℝ → (∀𝑘 ∈ ran 𝐹(𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)))
12796, 126syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (∀𝑘 ∈ ran 𝐹(𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝐴 · (𝐹𝑦)) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)))
128123, 127mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ∀𝑘 ∈ ran 𝐹(𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))
129128r19.21bi 2927 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ ran 𝐹) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))
130119, 129sylan2 491 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹))
13137adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ∈ ℂ)
132 frn 6015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
13389, 132syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
134133ssdifssd 3731 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
135134sselda 3587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℝ)
136135recnd 10020 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ∈ ℂ)
137 simplr 791 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝐴 ≠ 0)
138 eldifsni 4294 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑘 ≠ 0)
139138adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑘 ≠ 0)
140131, 136, 137, 139mulne0d 10631 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐴 · 𝑘) ≠ 0)
141 eldifsn 4292 . . . . . . . 8 ((𝐴 · 𝑘) ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ↔ ((𝐴 · 𝑘) ∈ ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∧ (𝐴 · 𝑘) ≠ 0))
142130, 140, 141sylanbrc 697 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐴 · 𝑘) ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}))
143 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}))
144 ssel2 3582 . . . . . . . . . . . 12 (((ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ⊆ ℝ ∧ 𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → 𝑛 ∈ ℝ)
14533, 143, 144syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑛 ∈ ℝ)
146145recnd 10020 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑛 ∈ ℂ)
1478ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ∈ ℝ)
148147recnd 10020 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ∈ ℂ)
149135adantrl 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑘 ∈ ℝ)
150149recnd 10020 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝑘 ∈ ℂ)
151 simplr 791 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → 𝐴 ≠ 0)
152146, 148, 150, 151divmuld 10775 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ((𝑛 / 𝐴) = 𝑘 ↔ (𝐴 · 𝑘) = 𝑛))
153152bicomd 213 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → ((𝐴 · 𝑘) = 𝑛 ↔ (𝑛 / 𝐴) = 𝑘))
154 eqcom 2628 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝐴 · 𝑘) ↔ (𝐴 · 𝑘) = 𝑛)
155 eqcom 2628 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑛 / 𝐴) ↔ (𝑛 / 𝐴) = 𝑘)
156153, 154, 1553bitr4g 303 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}))) → (𝑛 = (𝐴 · 𝑘) ↔ 𝑘 = (𝑛 / 𝐴)))
15780, 118, 142, 156f1o2d 6847 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴)):(ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})–1-1-onto→(ran 𝐹 ∖ {0}))
158 oveq1 6617 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 / 𝐴) = (𝑚 / 𝐴))
159 ovex 6638 . . . . . . . 8 (𝑚 / 𝐴) ∈ V
160158, 80, 159fvmpt 6244 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) → ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))‘𝑚) = (𝑚 / 𝐴))
161160adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})) → ((𝑛 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0}) ↦ (𝑛 / 𝐴))‘𝑚) = (𝑚 / 𝐴))
162 i1fima2sn 23370 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
16372, 162sylan 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑘})) ∈ ℝ)
164135, 163remulcld 10022 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) ∈ ℝ)
165164recnd 10020 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) ∈ ℂ)
16679, 66, 157, 161, 165fsumf1o 14395 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → Σ𝑘 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑘 · (vol‘(𝐹 “ {𝑘}))) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))))
16774, 166eqtrd 2655 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (∫1𝐹) = Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)}))))
168167oveq2d 6626 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝐴 · (∫1𝐹)) = (𝐴 · Σ𝑚 ∈ (ran ((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹) ∖ {0})((𝑚 / 𝐴) · (vol‘(𝐹 “ {(𝑚 / 𝐴)})))))
16969, 71, 1683eqtr4d 2665 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1𝐹)))
17026, 169pm2.61dane 2877 1 (𝜑 → (∫1‘((ℝ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝐴 · (∫1𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  Vcvv 3189  cdif 3556  wss 3559  {csn 4153  cmpt 4678   × cxp 5077  ccnv 5078  dom cdm 5079  ran crn 5080  cima 5082   Fn wfn 5847  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑓 cof 6855  Fincfn 7907  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888   · cmul 9893   / cdiv 10636  Σcsu 14358  volcvol 23155  1citg1 23307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xadd 11899  df-ioo 12129  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359  df-xmet 19671  df-met 19672  df-ovol 23156  df-vol 23157  df-mbf 23311  df-itg1 23312
This theorem is referenced by:  itg1sub  23399  itg2const  23430  itg2mulclem  23436  itg2monolem1  23440  itg2addnclem  33128
  Copyright terms: Public domain W3C validator