Theorem inaex 40707

Description: Assuming the Tarski-Grothendieck axiom, every ordinal is contained in an inaccessible ordinal. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
inaex	⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ Inacc 𝐴 ∈ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem inaex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 10109	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ Inaccw)
2		winaon 10107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ Inaccw → 𝑥 ∈ On)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ Inacc → 𝑥 ∈ On)
4	3	ssriv 3968	. . . . 5 ⊢ Inacc ⊆ On
5		onmindif 6277	. . . . 5 ⊢ ((Inacc ⊆ On ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴))
6	4, 5	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴))
7	6	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝐴 ∈ ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴))
8		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝑥 = ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴))
9	7, 8	eleqtrrd 2915	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 = ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴)) → 𝐴 ∈ 𝑥)
10		difss 4105	. . . . 5 ⊢ (Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ Inacc
11	10, 4	sstri 3973	. . . 4 ⊢ (Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ On
12		inaprc 10255	. . . . . . 7 ⊢ Inacc ∉ V
13	12	neli 3124	. . . . . 6 ⊢ ¬ Inacc ∈ V
14		ssdif0 4320	. . . . . . 7 ⊢ (Inacc ⊆ suc 𝐴 ↔ (Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅)
15		sucexg 7522	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ V)
16		ssexg 5224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Inacc ⊆ suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ∈ V) → Inacc ∈ V)
17	16	expcom 416	. . . . . . . 8 ⊢ (suc 𝐴 ∈ V → (Inacc ⊆ suc 𝐴 → Inacc ∈ V))
18	15, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → (Inacc ⊆ suc 𝐴 → Inacc ∈ V))
19	14, 18	syl5bir 245	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅ → Inacc ∈ V))
20	13, 19	mtoi 201	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → ¬ (Inacc ∖ suc 𝐴) = ∅)
21	20	neqned 3022	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (Inacc ∖ suc 𝐴) ≠ ∅)
22		onint 7507	. . . 4 ⊢ (((Inacc ∖ suc 𝐴) ⊆ On ∧ (Inacc ∖ suc 𝐴) ≠ ∅) → ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ (Inacc ∖ suc 𝐴))
23	11, 21, 22	sylancr 589	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ (Inacc ∖ suc 𝐴))
24	23	eldifad 3945	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∩ (Inacc ∖ suc 𝐴) ∈ Inacc)
25	9, 24	rspcime 3626	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∃𝑥 ∈ Inacc 𝐴 ∈ 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3015  ∃wrex 3138  Vcvv 3493   ∖ cdif 3930   ⊆ wss 3933  ∅c0 4288  ∩ cint 4873  Oncon0 6188  suc csuc 6190  Inacc_wcwina 10101  Inacccina 10102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-inf2 9101  ax-ac2 9882  ax-groth 10242

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-se 5512  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-om 7578  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7944  df-smo 7980  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-oi 8971  df-har 9019  df-r1 9190  df-card 9365  df-aleph 9366  df-cf 9367  df-acn 9368  df-ac 9539  df-wina 10103  df-ina 10104  df-tsk 10168

This theorem is referenced by:  gruex  40708