Theorem gruex 40683

Description: Assuming the Tarski-Grothendieck axiom, every set is contained in a Grothendieck universe. (Contributed by Rohan Ridenour, 13-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
gruex	⊢ ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem gruex

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankon 9224	. . 3 ⊢ (rank‘𝑥) ∈ On
2		inaex 40682	. . 3 ⊢ ((rank‘𝑥) ∈ On → ∃𝑧 ∈ Inacc (rank‘𝑥) ∈ 𝑧)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∃𝑧 ∈ Inacc (rank‘𝑥) ∈ 𝑧
4		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → (rank‘𝑥) ∈ 𝑧)
5		inawina 10112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ Inacc → 𝑧 ∈ Inaccw)
6		winaon 10110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ Inaccw → 𝑧 ∈ On)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ Inacc → 𝑧 ∈ On)
8	7	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → 𝑧 ∈ On)
9		vex 3497	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
10	9	rankr1a 9265	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ On → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑧) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧))
11	8, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → (𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑧) ↔ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧))
12	4, 11	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑧))
13		simpr 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → 𝑦 = (𝑅1‘𝑧))
14	12, 13	eleqtrrd 2916	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) ∧ 𝑦 = (𝑅1‘𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝑦)
15		simpl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) → 𝑧 ∈ Inacc)
16	15	inagrud 40681	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) → (𝑅1‘𝑧) ∈ Univ)
17	14, 16	rspcime 3627	. . 3 ⊢ ((𝑧 ∈ Inacc ∧ (rank‘𝑥) ∈ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦)
18	17	rexlimiva 3281	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ Inacc (rank‘𝑥) ∈ 𝑧 → ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦)
19	3, 18	ax-mp 5	1 ⊢ ∃𝑦 ∈ Univ 𝑥 ∈ 𝑦

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3139  Oncon0 6191  ‘cfv 6355  𝑅₁cr1 9191  rankcrnk 9192  Inacc_wcwina 10104  Inacccina 10105  Univcgru 10212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-reg 9056  ax-inf2 9104  ax-ac2 9885  ax-groth 10245

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-smo 7983  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-oi 8974  df-har 9022  df-r1 9193  df-rank 9194  df-card 9368  df-aleph 9369  df-cf 9370  df-acn 9371  df-ac 9542  df-wina 10106  df-ina 10107  df-tsk 10171  df-gru 10213

This theorem is referenced by:  rr-groth  40684  rr-grothprim  40685