Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  infxrpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infxrpnf 39987
 Description: Adding plus infinity to a set does not affect its infimum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Assertion
Ref Expression
infxrpnf (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))

Proof of Theorem infxrpnf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ ℝ*)
2 pnfxr 10130 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
3 snssi 4371 . . . . . 6 (+∞ ∈ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 {+∞} ⊆ ℝ*
54a1i 11 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ* → {+∞} ⊆ ℝ*)
61, 5unssd 3822 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*)
76infxrcld 39925 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8 infxrcl 12201 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9 ssun1 3809 . . . 4 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞})
109a1i 11 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞}))
11 infxrss 12207 . . 3 ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*) → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
1210, 6, 11syl2anc 694 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) ≤ inf(𝐴, ℝ*, < ))
13 infeq1 8423 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf(∅, ℝ*, < ))
14 xrinf0 12206 . . . . . . . 8 inf(∅, ℝ*, < ) = +∞
1514, 2eqeltri 2726 . . . . . . 7 inf(∅, ℝ*, < ) ∈ ℝ*
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → inf(∅, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1713, 16eqeltrd 2730 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
18 xrltso 12012 . . . . . . . . 9 < Or ℝ*
19 infsn 8451 . . . . . . . . 9 (( < Or ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞)
2018, 2, 19mp2an 708 . . . . . . . 8 inf({+∞}, ℝ*, < ) = +∞
2120eqcomi 2660 . . . . . . 7 +∞ = inf({+∞}, ℝ*, < )
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → +∞ = inf({+∞}, ℝ*, < ))
2313, 14syl6eq 2701 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
24 uneq1 3793 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ {+∞}) = (∅ ∪ {+∞}))
25 0un 39529 . . . . . . . . 9 (∅ ∪ {+∞}) = {+∞}
2625a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → (∅ ∪ {+∞}) = {+∞})
2724, 26eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ∪ {+∞}) = {+∞})
2827infeq1d 8424 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf({+∞}, ℝ*, < ))
2922, 23, 283eqtr4d 2695 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) = inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
3017, 29xreqled 39859 . . . 4 (𝐴 = ∅ → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
3130adantl 481 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
32 neqne 2831 . . . 4 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
33 nfv 1883 . . . . 5 𝑥(𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅)
34 nfv 1883 . . . . 5 𝑦(𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅)
35 simpl 472 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
3635, 6syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∪ {+∞}) ⊆ ℝ*)
37 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
38 ssel2 3631 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
39 xrleid 12021 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝑥)
4038, 39syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥𝑥)
41 breq1 4688 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑥𝑥𝑥))
4241rspcev 3340 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑥𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4337, 40, 42syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
4443ad4ant14 1317 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
45 simpll 805 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → (𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅))
46 elunnel1 3787 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ {+∞})
47 elsni 4227 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {+∞} → 𝑥 = +∞)
4846, 47syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞}) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥 = +∞)
4948adantll 750 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → 𝑥 = +∞)
50 simplr 807 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → 𝐴 ≠ ∅)
51 ssel2 3631 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
52 pnfge 12002 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ*𝑦 ≤ +∞)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ +∞)
5453adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ≤ +∞)
55 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 = +∞)
5654, 55breqtrrd 4713 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 = +∞) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝑥)
5756ralrimiva 2995 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 = +∞) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
5857adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
59 r19.2z 4093 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
6050, 58, 59syl2anc 694 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 = +∞) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
6145, 49, 60syl2anc 694 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) ∧ ¬ 𝑥𝐴) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
6244, 61pm2.61dan 849 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {+∞})) → ∃𝑦𝐴 𝑦𝑥)
6333, 34, 35, 36, 62infleinf2 39954 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐴 ≠ ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
6432, 63sylan2 490 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ ¬ 𝐴 = ∅) → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
6531, 64pm2.61dan 849 . 2 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf(𝐴, ℝ*, < ) ≤ inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ))
667, 8, 12, 65xrletrid 12024 1 (𝐴 ⊆ ℝ* → inf((𝐴 ∪ {+∞}), ℝ*, < ) = inf(𝐴, ℝ*, < ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {csn 4210   class class class wbr 4685   Or wor 5063  infcinf 8388  +∞cpnf 10109  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307 This theorem is referenced by:  infxrpnf2  40006
 Copyright terms: Public domain W3C validator