MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrletrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrletrid 12024
Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xrletrid.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrletrid.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrletrid.3 (𝜑𝐴𝐵)
xrletrid.4 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
xrletrid (𝜑𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem xrletrid
StepHypRef Expression
1 xrletrid.3 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
2 xrletrid.4 . . 3 (𝜑𝐵𝐴)
31, 2jca 553 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
4 xrletrid.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 xrletrid.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6 xrletri3 12023 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
74, 5, 6syl2anc 694 . 2 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
83, 7mpbird 247 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  *cxr 10111  cle 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118
This theorem is referenced by:  infxrre  12204  ixxlb  12235  imasdsf1olem  22225  mbflimsup  23478  xrgepnfd  39860  supxrge  39867  infxrpnf  39987  eliccnelico  40074  liminfgelimsup  40332  liminfgelimsupuz  40338  liminflimsupclim  40357  ismbl4  40528  rrxsnicc  40838  sge0fsum  40922  sge0split  40944  sge0iunmptlemre  40950  sge0isum  40962  sge0xaddlem2  40969  sge0reuz  40982  meale0eq0  41013  carageniuncl  41058  caratheodorylem2  41062  caragenel2d  41067  omess0  41069  ovn0lem  41100  hoidmv1lelem2  41127  hoidmv1lelem3  41128  hoidmvlelem4  41133  ovnhoi  41138  ovolval2lem  41178  ovolval5lem3  41189
  Copyright terms: Public domain W3C validator