MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrletrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrletrid 11930
Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
xrletrid.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrletrid.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrletrid.3 (𝜑𝐴𝐵)
xrletrid.4 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
xrletrid (𝜑𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem xrletrid
StepHypRef Expression
1 xrletrid.3 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
2 xrletrid.4 . . 3 (𝜑𝐵𝐴)
31, 2jca 554 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
4 xrletrid.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 xrletrid.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
6 xrletri3 11929 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
74, 5, 6syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
83, 7mpbird 247 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992   class class class wbr 4618  *cxr 10018  cle 10020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025
This theorem is referenced by:  infxrre  12106  ixxlb  12136  imasdsf1olem  22083  mbflimsup  23334  xrgepnfd  38998  supxrge  39005  eliccnelico  39154  ismbl4  39504  rrxsnicc  39814  sge0fsum  39898  sge0split  39920  sge0iunmptlemre  39926  sge0isum  39938  sge0xaddlem2  39945  sge0reuz  39958  meale0eq0  39989  carageniuncl  40031  caratheodorylem2  40035  caragenel2d  40040  omess0  40042  ovn0lem  40073  hoidmv1lelem2  40100  hoidmv1lelem3  40101  hoidmvlelem4  40106  ovnhoi  40111  ovolval2lem  40151  ovolval5lem3  40162
  Copyright terms: Public domain W3C validator