MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irredneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irredneg 18910
Description: The negative of an irreducible element is irreducible. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
irredn0.i 𝐼 = (Irred‘𝑅)
irredneg.n 𝑁 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
irredneg ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem irredneg
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2760 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 eqid 2760 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
4 irredneg.n . . 3 𝑁 = (invg𝑅)
5 simpl 474 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
6 irredn0.i . . . . 5 𝐼 = (Irred‘𝑅)
76, 1irredcl 18904 . . . 4 (𝑋𝐼𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
87adantl 473 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
91, 2, 3, 4, 5, 8rngnegr 18795 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → (𝑋(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅))) = (𝑁𝑋))
10 eqid 2760 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
1110, 31unit 18858 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Unit‘𝑅))
1210, 4unitnegcl 18881 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
1311, 12mpdan 705 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
1413adantr 472 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅))
156, 10, 2irredrmul 18907 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼 ∧ (𝑁‘(1r𝑅)) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ 𝐼)
1614, 15mpd3an3 1574 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → (𝑋(.r𝑅)(𝑁‘(1r𝑅))) ∈ 𝐼)
179, 16eqeltrrd 2840 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐼) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  .rcmulr 16144  invgcminusg 17624  1rcur 18701  Ringcrg 18747  Unitcui 18839  Irredcir 18840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-irred 18843  df-invr 18872  df-dvr 18883
This theorem is referenced by:  irrednegb  18911
  Copyright terms: Public domain W3C validator