Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isbnd3b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isbnd3b 33714
Description: A metric space is bounded iff the metric function maps to some bounded real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
isbnd3b (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑀   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧

Proof of Theorem isbnd3b
StepHypRef Expression
1 isbnd3 33713 . 2 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)))
2 metf 22182 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
32adantr 480 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
4 ffn 6083 . . . . . 6 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ → 𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋))
5 ffnov 6806 . . . . . . 7 (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) ∧ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥)))
65baib 964 . . . . . 6 (𝑀 Fn (𝑋 × 𝑋) → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥)))
73, 4, 63syl 18 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥)))
8 0red 10079 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 0 ∈ ℝ)
9 simplr 807 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10 metcl 22184 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
11103expb 1285 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
1211adantlr 751 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → (𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ)
13 metge0 22197 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑦𝑋𝑧𝑋) → 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧))
14133expb 1285 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧))
1514adantlr 751 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧))
16 elicc2 12276 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
17 df-3an 1056 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥) ↔ (((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧)) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
1816, 17syl6bb 276 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ (((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧)) ∧ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥)))
1918baibd 968 . . . . . . 7 (((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑦𝑀𝑧) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑦𝑀𝑧))) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
208, 9, 12, 15, 19syl22anc 1367 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
21202ralbidva 3017 . . . . 5 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ∈ (0[,]𝑥) ↔ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
227, 21bitrd 268 . . . 4 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
2322rexbidva 3078 . . 3 (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) → (∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
2423pm5.32i 670 . 2 ((𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ 𝑀:(𝑋 × 𝑋)⟶(0[,]𝑥)) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
251, 24bitri 264 1 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝑋) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑋) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝑋𝑧𝑋 (𝑦𝑀𝑧) ≤ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  w3a 1054  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942   class class class wbr 4685   × cxp 5141   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  cle 10113  [,]cicc 12216  Metcme 19780  Bndcbnd 33696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-er 7787  df-ec 7789  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-icc 12220  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-bnd 33708
This theorem is referenced by:  equivbnd  33719  iccbnd  33769
  Copyright terms: Public domain W3C validator