Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isepi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isepi 16340
 Description: Definition of an epimorphism in a category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isepi.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
isepi.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isepi.o · = (comp‘𝐶)
isepi.e 𝐸 = (Epi‘𝐶)
isepi.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
isepi.x (𝜑𝑋𝐵)
isepi.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
isepi (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧𝐵 Fun (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑔,𝐵   𝐶,𝑔,𝑧   𝑔,𝐻,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑋,𝑧   𝑔,𝐹,𝑧   𝜑,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑧,𝑔)

Proof of Theorem isepi
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . 4 (oppCat‘𝐶) = (oppCat‘𝐶)
2 isepi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
31, 2oppcbas 16318 . . 3 𝐵 = (Base‘(oppCat‘𝐶))
4 eqid 2621 . . 3 (Hom ‘(oppCat‘𝐶)) = (Hom ‘(oppCat‘𝐶))
5 eqid 2621 . . 3 (comp‘(oppCat‘𝐶)) = (comp‘(oppCat‘𝐶))
6 eqid 2621 . . 3 (Mono‘(oppCat‘𝐶)) = (Mono‘(oppCat‘𝐶))
7 isepi.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
81oppccat 16322 . . . 4 (𝐶 ∈ Cat → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → (oppCat‘𝐶) ∈ Cat)
10 isepi.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
11 isepi.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
123, 4, 5, 6, 9, 10, 11ismon 16333 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋) ↔ (𝐹 ∈ (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) ∧ ∀𝑧𝐵 Fun (𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔)))))
13 isepi.e . . . 4 𝐸 = (Epi‘𝐶)
141, 7, 6, 13oppcmon 16338 . . 3 (𝜑 → (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐸𝑌))
1514eleq2d 2684 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑌(Mono‘(oppCat‘𝐶))𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌)))
16 isepi.h . . . . . 6 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
1716, 1oppchom 16315 . . . . 5 (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐻𝑌)
1817a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) = (𝑋𝐻𝑌))
1918eleq2d 2684 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)))
2016, 1oppchom 16315 . . . . . . . 8 (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) = (𝑌𝐻𝑧)
2120a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) = (𝑌𝐻𝑧))
22 isepi.o . . . . . . . 8 · = (comp‘𝐶)
23 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑧𝐵)
2410adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑌𝐵)
2511adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧𝐵) → 𝑋𝐵)
262, 22, 1, 23, 24, 25oppcco 16317 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔) = (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹))
2721, 26mpteq12dv 4703 . . . . . 6 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔)) = (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)))
2827cnveqd 5268 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐵) → (𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔)) = (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)))
2928funeqd 5879 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐵) → (Fun (𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔)) ↔ Fun (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹))))
3029ralbidva 2981 . . 3 (𝜑 → (∀𝑧𝐵 Fun (𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔)) ↔ ∀𝑧𝐵 Fun (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹))))
3119, 30anbi12d 746 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑌(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑋) ∧ ∀𝑧𝐵 Fun (𝑔 ∈ (𝑧(Hom ‘(oppCat‘𝐶))𝑌) ↦ (𝐹(⟨𝑧, 𝑌⟩(comp‘(oppCat‘𝐶))𝑋)𝑔))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧𝐵 Fun (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)))))
3212, 15, 313bitr3d 298 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧𝐵 Fun (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2908  ⟨cop 4161   ↦ cmpt 4683  ◡ccnv 5083  Fun wfun 5851  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  Hom chom 15892  compcco 15893  Catccat 16265  oppCatcoppc 16311  Monocmon 16328  Epicepi 16329 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-hom 15906  df-cco 15907  df-cat 16269  df-cid 16270  df-oppc 16312  df-mon 16330  df-epi 16331 This theorem is referenced by:  isepi2  16341  epihom  16342
 Copyright terms: Public domain W3C validator