MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isepi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isepi2 16317
Description: Write out the epimorphism property directly. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isepi.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
isepi.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isepi.o · = (comp‘𝐶)
isepi.e 𝐸 = (Epi‘𝐶)
isepi.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
isepi.x (𝜑𝑋𝐵)
isepi.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
isepi2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) = ((⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ))))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑔,𝐵   𝐶,𝑔,𝑧   𝑔,,𝐻,𝑧   · ,𝑔,,𝑧   𝑔,𝑋,,𝑧   𝑔,𝐹,,𝑧   𝜑,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑()   𝐵()   𝐶()   𝐸(𝑧,𝑔,)

Proof of Theorem isepi2
StepHypRef Expression
1 isepi.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
2 isepi.h . . 3 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3 isepi.o . . 3 · = (comp‘𝐶)
4 isepi.e . . 3 𝐸 = (Epi‘𝐶)
5 isepi.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
6 isepi.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
7 isepi.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7isepi 16316 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧𝐵 Fun (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)))))
95ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝐶 ∈ Cat)
106ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑋𝐵)
117ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑌𝐵)
12 simprl 793 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑧𝐵)
13 simplr 791 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
14 simprr 795 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))
151, 2, 3, 9, 10, 11, 12, 13, 14catcocl 16262 . . . . . . 7 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ (𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧))
1615anassrs 679 . . . . . 6 ((((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧𝐵) ∧ 𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)) → (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧))
1716ralrimiva 2965 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧𝐵) → ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧))
18 eqid 2626 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)) = (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹))
1918fmpt 6338 . . . . . . 7 (∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧) ↔ (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)⟶(𝑋𝐻𝑧))
20 df-f1 5855 . . . . . . . 8 ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)–1-1→(𝑋𝐻𝑧) ↔ ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)⟶(𝑋𝐻𝑧) ∧ Fun (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹))))
2120baib 943 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)⟶(𝑋𝐻𝑧) → ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)–1-1→(𝑋𝐻𝑧) ↔ Fun (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹))))
2219, 21sylbi 207 . . . . . 6 (∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧) → ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)–1-1→(𝑋𝐻𝑧) ↔ Fun (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹))))
23 oveq1 6612 . . . . . . . 8 (𝑔 = → (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) = ((⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹))
2418, 23f1mpt 6473 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)–1-1→(𝑋𝐻𝑧) ↔ (∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧) ∧ ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) = ((⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) → 𝑔 = )))
2524baib 943 . . . . . 6 (∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧) → ((𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)):(𝑌𝐻𝑧)–1-1→(𝑋𝐻𝑧) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) = ((⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) → 𝑔 = )))
2622, 25bitr3d 270 . . . . 5 (∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)(𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) ∈ (𝑋𝐻𝑧) → (Fun (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) = ((⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) → 𝑔 = )))
2717, 26syl 17 . . . 4 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) ∧ 𝑧𝐵) → (Fun (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)) ↔ ∀𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) = ((⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) → 𝑔 = )))
2827ralbidva 2984 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌)) → (∀𝑧𝐵 Fun (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹)) ↔ ∀𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) = ((⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) → 𝑔 = )))
2928pm5.32da 672 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧𝐵 Fun (𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧) ↦ (𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) = ((⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ))))
308, 29bitrd 268 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐸𝑌) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) ∧ ∀𝑧𝐵𝑔 ∈ (𝑌𝐻𝑧)∀ ∈ (𝑌𝐻𝑧)((𝑔(⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) = ((⟨𝑋, 𝑌· 𝑧)𝐹) → 𝑔 = ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  cop 4159  cmpt 4678  ccnv 5078  Fun wfun 5844  wf 5846  1-1wf1 5847  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  Hom chom 15868  compcco 15869  Catccat 16241  Epicepi 16305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-hom 15882  df-cco 15883  df-cat 16245  df-cid 16246  df-oppc 16288  df-mon 16306  df-epi 16307
This theorem is referenced by:  setcepi  16654
  Copyright terms: Public domain W3C validator