Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  istrkg2ld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem istrkg2ld 25276
 Description: Property of fulfilling the lower dimension 2 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
istrkg.d = (dist‘𝐺)
istrkg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
istrkg2ld (𝐺𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥2 ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧   𝑥, ,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem istrkg2ld
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 11361 . . . 4 2 ∈ ℤ
2 uzid 11654 . . . 4 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
31, 2ax-mp 5 . . 3 2 ∈ (ℤ‘2)
4 istrkg.p . . . 4 𝑃 = (Base‘𝐺)
5 istrkg.d . . . 4 = (dist‘𝐺)
6 istrkg.i . . . 4 𝐼 = (Itv‘𝐺)
74, 5, 6istrkgld 25275 . . 3 ((𝐺𝑉 ∧ 2 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐺DimTarskiG≥2 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
83, 7mpan2 706 . 2 (𝐺𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥2 ↔ ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
9 r19.41v 3082 . . . . 5 (∃𝑥𝑃 (∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1𝑃) ↔ (∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1𝑃))
10 ancom 466 . . . . . 6 ((∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1𝑃) ↔ (𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
1110rexbii 3035 . . . . 5 (∃𝑥𝑃 (∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1𝑃) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
12 ancom 466 . . . . 5 ((∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ∧ 𝑓:(1..^2)–1-1𝑃) ↔ (𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
139, 11, 123bitr3ri 291 . . . 4 ((𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
1413exbii 1771 . . 3 (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓𝑥𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
15 rexcom4 3214 . . 3 (∃𝑥𝑃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑓𝑥𝑃 (𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
16 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
1716reximi 3006 . . . . . . . . 9 (∃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
1817reximi 3006 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
1918adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
2019exlimiv 1855 . . . . . 6 (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
2120adantl 482 . . . . 5 ((𝑥𝑃 ∧ ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))) → ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
22 1ex 9987 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
23 vex 3192 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
2422, 23f1osn 6138 . . . . . . . . 9 {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑥}
25 f1of1 6098 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑥} → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→{𝑥})
2624, 25mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑥𝑃 → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→{𝑥})
27 snssi 4313 . . . . . . . 8 (𝑥𝑃 → {𝑥} ⊆ 𝑃)
28 f1ss 6068 . . . . . . . 8 (({⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1→{𝑥} ∧ {𝑥} ⊆ 𝑃) → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1𝑃)
2926, 27, 28syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝑥𝑃 → {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1𝑃)
30 fzo12sn 12500 . . . . . . . . . . . 12 (1..^2) = {1}
31 mpteq1 4702 . . . . . . . . . . . 12 ((1..^2) = {1} → (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥)
33 fmptsn 6393 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → {⟨1, 𝑥⟩} = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥))
3422, 23, 33mp2an 707 . . . . . . . . . . 11 {⟨1, 𝑥⟩} = (𝑗 ∈ {1} ↦ 𝑥)
3532, 34eqtr4i 2646 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = {⟨1, 𝑥⟩}
3635a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) = {⟨1, 𝑥⟩})
3730a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (1..^2) = {1})
38 eqidd 2622 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝑃 = 𝑃)
3936, 37, 38f1eq123d 6093 . . . . . . . 8 (⊤ → ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1𝑃 ↔ {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1𝑃))
4039trud 1490 . . . . . . 7 ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1𝑃 ↔ {⟨1, 𝑥⟩}:{1}–1-1𝑃)
4129, 40sylibr 224 . . . . . 6 (𝑥𝑃 → (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1𝑃)
42 ral0 4053 . . . . . . . . . 10 𝑗 ∈ ∅ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧))
43 fzo0 12441 . . . . . . . . . . 11 (2..^2) = ∅
4443raleqi 3134 . . . . . . . . . 10 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ ∅ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧)))
4542, 44mpbir 221 . . . . . . . . 9 𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧))
4645jctl 563 . . . . . . . 8 (¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
4746reximi 3006 . . . . . . 7 (∃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → ∃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
4847reximi 3006 . . . . . 6 (∃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)) → ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
49 ovex 6638 . . . . . . . 8 (1..^2) ∈ V
5049mptex 6446 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∈ V
51 f1eq1 6058 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) → (𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ↔ (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1𝑃))
52 nfmpt1 4712 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗(𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)
5352nfeq2 2776 . . . . . . . . . . . 12 𝑗 𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)
54 nfv 1840 . . . . . . . . . . . 12 𝑗(𝑦𝑃𝑧𝑃)
5553, 54nfan 1825 . . . . . . . . . . 11 𝑗(𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃))
56 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → 𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥))
5756fveq1d 6155 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (𝑓‘1) = ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1))
5857oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥))
5956fveq1d 6155 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (𝑓𝑗) = ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗))
6059oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓𝑗) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥))
6158, 60eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥)))
6257oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦))
6359oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓𝑗) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦))
6462, 63eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦)))
6557oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧))
6659oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((𝑓𝑗) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧))
6765, 66eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → (((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧) ↔ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧)))
6861, 64, 673anbi123d 1396 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) ∧ 𝑗 ∈ (2..^2)) → ((((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ↔ ((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧))))
6955, 68ralbida 2977 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) → (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ↔ ∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧))))
7069anbi1d 740 . . . . . . . . 9 ((𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) ∧ (𝑦𝑃𝑧𝑃)) → ((∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
71702rexbidva 3050 . . . . . . . 8 (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) → (∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) ↔ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
7251, 71anbi12d 746 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥) → ((𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))))
7350, 72spcev 3289 . . . . . 6 (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥):(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)((((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑥) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑥) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑦) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑦) ∧ (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘1) 𝑧) = (((𝑗 ∈ (1..^2) ↦ 𝑥)‘𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) → ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
7441, 48, 73syl2an 494 . . . . 5 ((𝑥𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))) → ∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))))
7521, 74impbida 876 . . . 4 (𝑥𝑃 → (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
7675rexbiia 3034 . . 3 (∃𝑥𝑃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
7714, 15, 763bitr2i 288 . 2 (∃𝑓(𝑓:(1..^2)–1-1𝑃 ∧ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 (∀𝑗 ∈ (2..^2)(((𝑓‘1) 𝑥) = ((𝑓𝑗) 𝑥) ∧ ((𝑓‘1) 𝑦) = ((𝑓𝑗) 𝑦) ∧ ((𝑓‘1) 𝑧) = ((𝑓𝑗) 𝑧)) ∧ ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))) ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧)))
788, 77syl6bb 276 1 (𝐺𝑉 → (𝐺DimTarskiG≥2 ↔ ∃𝑥𝑃𝑦𝑃𝑧𝑃 ¬ (𝑧 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∨ 𝑥 ∈ (𝑧𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝑥𝐼𝑧))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∨ w3o 1035   ∧ w3a 1036   = wceq 1480  ⊤wtru 1481  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  Vcvv 3189   ⊆ wss 3559  ∅c0 3896  {csn 4153  ⟨cop 4159   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  –1-1→wf1 5849  –1-1-onto→wf1o 5851  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  1c1 9889  2c2 11022  ℤcz 11329  ℤ≥cuz 11639  ..^cfzo 12414  Basecbs 15792  distcds 15882  DimTarskiG≥cstrkgld 25250  Itvcitv 25252 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-trkgld 25268 This theorem is referenced by:  axtglowdim2  25286  tgdim01  25319
 Copyright terms: Public domain W3C validator