Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunhoiioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunhoiioo 41211
 Description: A n-dimensional open interval expressed as the indexed union of half-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunhoiioo.k 𝑘𝜑
iunhoiioo.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
iunhoiioo.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiioo.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
iunhoiioo (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iunhoiioo
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnn0 39908 . . . . . 6 ℕ ≠ ∅
2 iunconst 4561 . . . . . 6 (ℕ ≠ ∅ → 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅})
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅}
43a1i 11 . . . 4 (𝑋 = ∅ → 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅})
5 ixpeq1 7961 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
6 ixp0x 7978 . . . . . . . 8 X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅}
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
85, 7eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
98adantr 480 . . . . 5 ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
109iuneq2dv 4574 . . . 4 (𝑋 = ∅ → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = 𝑛 ∈ ℕ {∅})
11 ixpeq1 7961 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵))
12 ixp0x 7978 . . . . . 6 X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵) = {∅}
1312a1i 11 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵) = {∅})
1411, 13eqtrd 2685 . . . 4 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) = {∅})
154, 10, 143eqtr4d 2695 . . 3 (𝑋 = ∅ → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
1615adantl 481 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
17 iunhoiioo.k . . . . . . . 8 𝑘𝜑
18 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑘 𝑛 ∈ ℕ
1917, 18nfan 1868 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑛 ∈ ℕ)
20 iunhoiioo.a . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
2120rexrd 10127 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2221adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
23 iunhoiioo.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2423adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2520adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
26 nnrp 11880 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
2726ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑛 ∈ ℝ+)
2827rpreccld 11920 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
2925, 28ltaddrpd 11943 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 < (𝐴 + (1 / 𝑛)))
30 xrleid 12021 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ*𝐵𝐵)
3123, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵𝐵)
3231adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵𝐵)
33 icossioo 12302 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∧ 𝐵𝐵)) → ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3422, 24, 29, 32, 33syl22anc 1367 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3519, 34ixpssixp 39583 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
3635ralrimiva 2995 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
37 iunss 4593 . . . . 5 ( 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
3836, 37sylibr 224 . . . 4 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
3938adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
40 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑘 ¬ 𝑋 = ∅
4117, 40nfan 1868 . . . . . . 7 𝑘(𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅)
42 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑘𝑓
43 nfixp1 7970 . . . . . . . 8 𝑘X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)
4442, 43nfel 2806 . . . . . . 7 𝑘 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)
4541, 44nfan 1868 . . . . . 6 𝑘((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
46 iunhoiioo.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
4746ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ Fin)
48 neqne 2831 . . . . . . 7 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
4948ad2antlr 763 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ≠ ∅)
5020ad4ant14 1317 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
5123ad4ant14 1317 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
52 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
53 eqid 2651 . . . . . 6 inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝑓𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝑓𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
5445, 47, 49, 50, 51, 52, 53iunhoiioolem 41210 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
5554ralrimiva 2995 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∀𝑓X 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
56 dfss3 3625 . . . 4 (X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ↔ ∀𝑓X 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
5755, 56sylibr 224 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
5839, 57eqssd 3653 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
5916, 58pm2.61dan 849 1 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523  Ⅎwnf 1748   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  {csn 4210  ∪ ciun 4552   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ran crn 5144  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Xcixp 7950  Fincfn 7997  infcinf 8388  ℝcr 9973  1c1 9975   + caddc 9977  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  ℕcn 11058  ℝ+crp 11870  (,)cioo 12213  [,)cico 12215 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-fl 12633 This theorem is referenced by:  vonioolem2  41216
 Copyright terms: Public domain W3C validator