Theorem kerunit 30917

Description: If a unit element lies in the kernel of a ring homomorphism, then 0 = 1, i.e. the target ring is the zero ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
kerunit.1	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
kerunit.2	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
kerunit.3	⊢ 1 = (1r‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
kerunit	⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) ≠ ∅) → 1 = 0 )

Proof of Theorem kerunit

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 4162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) ↔ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 })))
2	1	biimpi 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 })))
3	2	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 })))
4	3	simpld 497	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑥 ∈ 𝑈)
5		rhmrcl1 19466	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
6		kerunit.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
7		eqid 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
8		eqid 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9		eqid 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
10	6, 7, 8, 9	unitlinv 19422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥) = (1r‘𝑅))
11	10	fveq2d 6667	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
12	5, 11	sylan 582	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
13	4, 12	syldan 593	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = (𝐹‘(1r‘𝑅)))
14		simpl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
15	5	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑅 ∈ Ring)
16		eqid 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
17	6, 7, 16	ringinvcl 19421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
18	15, 4, 17	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
19	16, 6	unitcl 19404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈 → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
20	4, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
21		eqid 2820	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
22	16, 8, 21	rhmmul 19474	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑥)))
23	14, 18, 20, 22	syl3anc 1366	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑥)))
24	3	simprd 498	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 }))
25		eqid 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
26	16, 25	rhmf 19473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
27		ffn 6507	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆) → 𝐹 Fn (Base‘𝑅))
28		elpreima 6821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 Fn (Base‘𝑅) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ { 0 })))
29	26, 27, 28	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 }) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ { 0 })))
30	29	simplbda 502	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ { 0 })) → (𝐹‘𝑥) ∈ { 0 })
31	24, 30	syldan 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘𝑥) ∈ { 0 })
32		fvex 6676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
33	32	elsn 4575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ { 0 } ↔ (𝐹‘𝑥) = 0 )
34	31, 33	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘𝑥) = 0 )
35	34	oveq2d 7165	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆)(𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆) 0 ))
36		rhmrcl2 19467	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝑆 ∈ Ring)
37	36	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝑆 ∈ Ring)
38	26	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 𝐹:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑆))
39	38, 18	ffvelrnd 6845	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑆))
40		kerunit.2	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
41	25, 21, 40	ringrz 19333	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥)) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆) 0 ) = 0 )
42	37, 39, 41	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → ((𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑥))(.r‘𝑆) 0 ) = 0 )
43	23, 35, 42	3eqtrd 2859	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(((invr‘𝑅)‘𝑥)(.r‘𝑅)𝑥)) = 0 )
44		kerunit.3	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
45	9, 44	rhm1 19477	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1 )
46	45	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → (𝐹‘(1r‘𝑅)) = 1 )
47	13, 43, 46	3eqtr3rd 2864	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 }))) → 1 = 0 )
48	47	reximdva0 4305	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) 1 = 0 )
49		id 22	. . 3 ⊢ ( 1 = 0 → 1 = 0 )
50	49	rexlimivw 3281	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) 1 = 0 → 1 = 0 )
51	48, 50	syl 17	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ (𝑈 ∩ (◡𝐹 “ { 0 })) ≠ ∅) → 1 = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3015  ∃wrex 3138   ∩ cin 3928  ∅c0 4284  {csn 4560  ^◡ccnv 5547   “ cima 5551   Fn wfn 6343  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  Basecbs 16478  ._rcmulr 16561  0_gc0g 16708  1_rcur 19246  Ringcrg 19292  Unitcui 19384  inv_rcinvr 19416   RingHom crh 19459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-tpos 7885  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-ghm 18351  df-mgp 19235  df-ur 19247  df-ring 19294  df-oppr 19368  df-dvdsr 19386  df-unit 19387  df-invr 19417  df-rnghom 19462

This theorem is referenced by: (None)