MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringrz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringrz 18354
Description: The zero of a unital ring is a right-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
rngz.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngz.t · = (.r𝑅)
rngz.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringrz ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem ringrz
StepHypRef Expression
1 ringgrp 18318 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2 rngz.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 rngz.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
42, 3grpidcl 17216 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
5 eqid 2606 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
62, 5, 3grplid 17218 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
74, 6mpdan 698 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Grp → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
98adantr 479 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
109oveq2d 6540 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g𝑅) 0 )) = (𝑋 · 0 ))
11 simpr 475 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
121, 4syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
1312adantr 479 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
1411, 13, 133jca 1234 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐵0𝐵0𝐵))
15 rngz.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
162, 5, 15ringdi 18332 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵0𝐵0𝐵)) → (𝑋 · ( 0 (+g𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
1714, 16syldan 485 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
181adantr 479 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
192, 15ringcl 18327 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
2013, 19mpd3an3 1416 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
212, 5, 3grplid 17218 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = (𝑋 · 0 ))
2221eqcomd 2612 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
2318, 20, 22syl2anc 690 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
2410, 17, 233eqtr3d 2648 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
252, 5grprcan 17221 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵0𝐵 ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
2618, 20, 13, 20, 25syl13anc 1319 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
2724, 26mpbid 220 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5787  (class class class)co 6524  Basecbs 15638  +gcplusg 15711  .rcmulr 15712  0gc0g 15866  Grpcgrp 17188  Ringcrg 18313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-plusg 15724  df-0g 15868  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-grp 17191  df-mgp 18256  df-ring 18315
This theorem is referenced by:  ringsrg  18355  ringinvnz1ne0  18358  ringinvnzdiv  18359  rngnegr  18361  gsummgp0  18374  gsumdixp  18375  dvdsr02  18422  isdrng2  18523  drngmul0or  18534  cntzsubr  18578  isabvd  18586  lmodvs0  18663  rrgeq0  19054  unitrrg  19057  domneq0  19061  psrridm  19168  mpllsslem  19199  mplsubrglem  19203  mplcoe1  19229  mplmon2  19257  evlslem4  19272  coe1tmmul2  19410  cply1mul  19428  ocvlss  19774  frlmphl  19878  uvcresum  19890  mamurid  20006  matsc  20014  dmatmul  20061  dmatscmcl  20067  scmatscmide  20071  mulmarep1el  20136  mdetdiaglem  20162  mdetero  20174  mdetunilem8  20183  mdetunilem9  20184  mdetuni0  20185  maducoeval2  20204  madugsum  20207  smadiadetlem1a  20227  smadiadetglem2  20236  chpdmatlem2  20402  chfacfpmmul0  20425  cayhamlem4  20451  mdegvscale  23553  mdegmullem  23556  coe1mul3  23577  deg1mul3le  23594  ply1divex  23614  ply1rem  23641  fta1blem  23646  kerunit  28957  matunitlindflem1  32375  lfl0f  33174  lfl0sc  33187  lkrlss  33200  lcfrlem33  35682  hdmapinvlem3  36030  hdmapglem7b  36038  cntzsdrg  36591  mgpsumz  41933  domnmsuppn0  41943  rmsuppss  41944  ply1mulgsumlem2  41968  lincresunit2  42060
  Copyright terms: Public domain W3C validator