MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringrz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringrz 18528
Description: The zero of a unital ring is a right-absorbing element. (Contributed by FL, 31-Aug-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
rngz.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngz.t · = (.r𝑅)
rngz.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringrz ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem ringrz
StepHypRef Expression
1 ringgrp 18492 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2 rngz.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 rngz.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
42, 3grpidcl 17390 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
5 eqid 2621 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
62, 5, 3grplid 17392 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
74, 6mpdan 701 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Grp → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
98adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
109oveq2d 6631 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g𝑅) 0 )) = (𝑋 · 0 ))
11 simpr 477 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
121, 4syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
1312adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
1411, 13, 133jca 1240 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋𝐵0𝐵0𝐵))
15 rngz.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
162, 5, 15ringdi 18506 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋𝐵0𝐵0𝐵)) → (𝑋 · ( 0 (+g𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
1714, 16syldan 487 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · ( 0 (+g𝑅) 0 )) = ((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
181adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
192, 15ringcl 18501 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
2013, 19mpd3an3 1422 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)
212, 5, 3grplid 17392 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = (𝑋 · 0 ))
2221eqcomd 2627 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
2318, 20, 22syl2anc 692 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
2410, 17, 233eqtr3d 2663 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )))
252, 5grprcan 17395 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵0𝐵 ∧ (𝑋 · 0 ) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
2618, 20, 13, 20, 25syl13anc 1325 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (((𝑋 · 0 )(+g𝑅)(𝑋 · 0 )) = ( 0 (+g𝑅)(𝑋 · 0 )) ↔ (𝑋 · 0 ) = 0 ))
2724, 26mpbid 222 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  .rcmulr 15882  0gc0g 16040  Grpcgrp 17362  Ringcrg 18487
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-mgp 18430  df-ring 18489
This theorem is referenced by:  ringsrg  18529  ringinvnz1ne0  18532  ringinvnzdiv  18533  rngnegr  18535  gsummgp0  18548  gsumdixp  18549  dvdsr02  18596  isdrng2  18697  drngmul0or  18708  cntzsubr  18752  isabvd  18760  lmodvs0  18837  rrgeq0  19230  unitrrg  19233  domneq0  19237  psrridm  19344  mpllsslem  19375  mplsubrglem  19379  mplcoe1  19405  mplmon2  19433  evlslem4  19448  coe1tmmul2  19586  cply1mul  19604  ocvlss  19956  frlmphl  20060  uvcresum  20072  mamurid  20188  matsc  20196  dmatmul  20243  dmatscmcl  20249  scmatscmide  20253  mulmarep1el  20318  mdetdiaglem  20344  mdetero  20356  mdetunilem8  20365  mdetunilem9  20366  mdetuni0  20367  maducoeval2  20386  madugsum  20389  smadiadetlem1a  20409  smadiadetglem2  20418  chpdmatlem2  20584  chfacfpmmul0  20607  cayhamlem4  20633  mdegvscale  23773  mdegmullem  23776  coe1mul3  23797  deg1mul3le  23814  ply1divex  23834  ply1rem  23861  fta1blem  23866  kerunit  29650  matunitlindflem1  33076  lfl0f  33875  lfl0sc  33888  lkrlss  33901  lcfrlem33  36383  hdmapinvlem3  36731  hdmapglem7b  36739  cntzsdrg  37292  mgpsumz  41459  domnmsuppn0  41468  rmsuppss  41469  ply1mulgsumlem2  41493  lincresunit2  41585
  Copyright terms: Public domain W3C validator