MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjlej1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latjlej1 17286
Description: Add join to both sides of a lattice ordering. (chlej1i 28662 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l = (le‘𝐾)
latlej.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latjlej1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))

Proof of Theorem latjlej1
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latlej.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3 latlej.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
41, 2, 3latlej1 17281 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → 𝑌 (𝑌 𝑍))
543adant3r1 1198 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌 (𝑌 𝑍))
6 simpl 474 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
7 simpr1 1234 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
8 simpr2 1236 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
91, 3latjcl 17272 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
1093adant3r1 1198 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
111, 2lattr 17277 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑌 (𝑌 𝑍)) → 𝑋 (𝑌 𝑍)))
126, 7, 8, 10, 11syl13anc 1479 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑌 (𝑌 𝑍)) → 𝑋 (𝑌 𝑍)))
135, 12mpan2d 712 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌𝑋 (𝑌 𝑍)))
141, 2, 3latlej2 17282 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → 𝑍 (𝑌 𝑍))
15143adant3r1 1198 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍 (𝑌 𝑍))
1613, 15jctird 568 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 (𝑌 𝑍) ∧ 𝑍 (𝑌 𝑍))))
17 simpr3 1238 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
187, 17, 103jca 1123 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋𝐵𝑍𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵))
191, 2, 3latjle12 17283 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 (𝑌 𝑍) ∧ 𝑍 (𝑌 𝑍)) ↔ (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
2018, 19syldan 488 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 (𝑌 𝑍) ∧ 𝑍 (𝑌 𝑍)) ↔ (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
2116, 20sylibd 229 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  lecple 16170  joincjn 17165  Latclat 17266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-poset 17167  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-lat 17267
This theorem is referenced by:  latjlej2  17287  latjlej12  17288  ps-2  35285  dalem5  35474  cdlema1N  35598  dalawlem3  35680  dalawlem6  35683  dalawlem7  35684  dalawlem11  35688  dalawlem12  35689  cdleme20d  36120  trlcolem  36534  cdlemh1  36623
  Copyright terms: Public domain W3C validator