MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lbico1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lbico1 12781
Description: The lower bound belongs to a closed-below, open-above interval. See lbicc2 12842. (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
lbico1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem lbico1
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 xrleid 12534 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
323ad2ant1 1125 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐴)
4 simp3 1130 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
5 elico1 12771 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴𝐴 < 𝐵)))
653adant3 1124 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴𝐴 < 𝐵)))
71, 3, 4, 6mpbir3and 1334 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  w3a 1079  wcel 2105   class class class wbr 5058  (class class class)co 7145  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  [,)cico 12730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-ico 12734
This theorem is referenced by:  icopnfsup  13223  metustid  23093  ioombl  24095  dchrvmasumlem2  26002  pntleme  26112  sxbrsigalem0  31429  icoreunrn  34523  dvasin  34860  dvacos  34861  limcresioolb  41804  xlimmnfvlem1  41993  fourierdlem93  42365
  Copyright terms: Public domain W3C validator