MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrleid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrleid 11968
Description: 'Less than or equal to' is reflexive for extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrleid (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)

Proof of Theorem xrleid
StepHypRef Expression
1 eqid 2620 . . . 4 𝐴 = 𝐴
21olci 406 . . 3 (𝐴 < 𝐴𝐴 = 𝐴)
3 xrleloe 11962 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐴𝐴 = 𝐴)))
42, 3mpbiri 248 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → 𝐴𝐴)
54anidms 676 1 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988   class class class wbr 4644  *cxr 10058   < clt 10059  cle 10060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065
This theorem is referenced by:  xrmax1  11991  xrmax2  11992  xrmin1  11993  xrmin2  11994  xleadd1a  12068  xlemul1a  12103  supxrre  12142  infxrre  12151  iooid  12188  iccid  12205  icc0  12208  ubioc1  12212  lbico1  12213  lbicc2  12273  ubicc2  12274  snunioo  12283  snunico  12284  snunioc  12285  limsupgord  14184  limsupgre  14193  limsupbnd1  14194  limsupbnd2  14195  pcdvdstr  15561  pcadd  15574  ledm  17205  lern  17206  letsr  17208  imasdsf1olem  22159  blssps  22210  blss  22211  blcld  22291  nmolb  22502  xrsxmet  22593  metds0  22634  metdstri  22635  metdseq0  22638  ismbfd  23388  itg2eqa  23493  mdeglt  23806  deg1lt  23838  xraddge02  29495  eliccelico  29513  elicoelioo  29514  difioo  29518  xrstos  29653  xrge0omnd  29685  esumpmono  30115  signsply0  30602  elicc3  32286  ioounsn  37614  iocinico  37616  xreqle  39347  xadd0ge  39349  xrleidd  39423  infxrpnf  39487  snunioo2  39534  snunioo1  39541  limcresiooub  39674  ismbl4  39973  sge0prle  40381  iunhoiioo  40653  iccpartleu  41128  iccpartgel  41129
  Copyright terms: Public domain W3C validator